Résistance des matériaux système isostatique ou hyperstatique

Cours résistance des matériaux système isostatique ou hyperstatique, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

INTRODUCTION GENERALE

La Résistance Des Matériaux (RDM), est la science du dimensionnement des pièces ou éléments qui constituent un ouvrage d’art ou tout objet utilitaire.
Le génie civil, domaine de la création intelligente, s’appuie essentiellement sur la RDM pour la réalisation des ouvrages d’art ou des constructions telles que les gros oeuvres des bâtiments, les ponts en béton armé ou métalliques etc…

Statique des corps rigides

Système matériel
Définition
Un système matériel est un corps, ou un ensemble de corps, ou une partie d’un corps dont-on se propose d’étudier l’équilibre ou le mouvement.
Remarque
Dans ce cours, on se limitera à l’étude des systèmes matériels en équilibre ou en quasi-équilibre (hypothèses des petites déformations).

Équilibre d’un corps ou d’un système

Définition
L’équilibre d’un solide signifie qu’il ne bouge pas (dans un référentiel donné) soit : aucune translation; aucune rotation autour de quelque point (ou pivot) que ce soit.
Remarque
L’équilibre d’un système matériel se réalise uniquement grâce aux forces extérieures directement appliquées à sa surface limite (forces de contact) ou à ses molécules (forces à distance). Les forces intérieures ne sont pas pris en compte.

Transmission des forces

Les forces sont transmises par l’intermédiaire des surfaces en contact. On détermine ces forces à partir des conditions d’équilibre en utilisant la géométrie du corps non déformé.
On néglige les variations d’angle et de longueur qui résultent de l’application des forces.

Système isostatique ou hyperstatique

Système isostatique
Un système est isostatique ou statiquement déterminé si le nombre d’inconnues (forces), est égal au nombres d’équations d’équilibre. Le problème est mathématiquement déterminé.
Système hyperstatique
Un système est hyperstatique si le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations d’équilibre. Le problème est mathématiquement indéterminé. On lève l’indétermination en prenant en compte la déformation du système (petites déformations et compatibilité géométrique).

Remarque
On ne doit faire aucune hypothèse sur les forces extérieures inconnues. En d’autres termes, on ne connaît ni leurs directions, ni leurs sens, ni leurs intensités. La détermination de ces caractéristiques fait l’objet de la résolution du problème.

NOTIONS DE BASE

Introduction
1) Qu’est-ce que la R.D.M.
La résistance mécanique des matériaux (R.D.M.), concerne leurs aptitudes à supporter les efforts extérieures auxquelles ils sont soumis (traction, compression, cisaillement, flexion, etc.…)
2) But de la R.D.M.
Le but de la R.D.M. est d’assurer qu’on utilise, dans une pièce donnée une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : Résistance – Rigidité – Stabilité Endurance – Résilience.

Hypothèses de base

Ces hypothèses permettent de réduire la complexité des développements mathématiques tout en conservant une certaine généralité. Ces hypothèses de base concernent la continuité, l’homogénéité, l’isotropie, les déformations et les forces internes du matériau étudié.
Remarque
Les forces internes, dites résiduelles sont souvent présentes dans les matériaux. Elle résultent en général du processus de fabrication (pliage, soudage, etc.…). On tient compte de ces forces résiduelles en diminuant la force trouvée ou en augmentant le section (On prend une certaine sécurité).

Méthode de résolution

On résout un problème de R.D.M. selon une démarche systématique qui comporte trois étapes fondamentales :
l’étude des forces et des conditions d’équilibre;
l’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique;
l’application des relations forces- déformations (E.L.S.).
Contrainte
Les forces internes prise en compte sont celles due aux sollicitations externes et capables de déformer le matériau.
 Forces internes
La RDM consiste à dimensionner le matériau pour qu’il supporte l’action des forces internes sans se détériorer.
État des forces internes
On étudie dans un système d’axes xyz, le point interne I d’un corps soumis à des forces externes 1 2 n F ,F …….F
Le plan (m) est normal à l’axe des x et passe par I. La section est soumise à des forces internes variant en intensités et en direction d’un point à un autre.
État de contrainte
Définition
Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte σ, qui est l’effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce.
σ est homogène à une pression et est exprimé en méga pascal (MPa) ou en Newton par millimètre carré (N/mm²).
Convention de signe
Une face est positive lorsque sa normale externe est dirigée dans le sens positif d’un axe. Une contrainte est positive lorsqu’elle agit dans le sens positif d’un axe, sur une face positive ou dans le sens négatif d’un axe sur une face négative.
Les mêmes composantes de contrainte agissent au point I sur la partie droite du corps sectionné (principe de la coupe: solide en équilibre en deux parties).
État de contrainte en un point
État de contrainte au point I montrant toutes les composantes de contraintes sur les faces négatives et leurs contreparties (primées) sur les faces positives. Lorsque les dimensions Δx, Δy et Δz de l’élément tendent vers zéro, la valeur des composantes primées tend vers celle de leurs contrepartie non primées.
Déformation
Présentation
Sous l’action des forces externes et des variations de température, le corps se déforme : le point I se déplace en I’, le point A en A’, le point B en B’ et le point C en C’.
Trois éléments parallèles aux axes de référence avant déformation ; leur position relative et leur longueur après déformation.
Les angles entre les segments de référence ne sont plus les mêmes.
Déformation normale
La déformation normale notée e est le quotient de la variation de longueur par la longueur initiale, lorsque celle-ci tend vers zéro.
Déformation de cisaillement
La déformation de cisaillement notée g est la tangente de la variation d’un angle originellement droit lorsque les côtés, qui sous-tende l’angle tendent vers zéro.

………