Résistance des matériaux RDM-II

Introduction

Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donnée de l’aire de la section droite est nécessaire pour étudier ou vérifier la résistance d’une section d’une poutre par exemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la section droite de la poutre jouent un rôle prépondérant sur le comportement aux différentes sollicitations de torsion ou de flexion. Nous allons nous intéresser dans le présent chapitre aux caractéristiques suivantes :
– Aire d’une section
– Moment statique par rapport à une droite (ou un axe)
– Centre de gravité
– Moment quadratique d’une section par rapport à une droite (ou un axe)
– Moment de résistance

Aire d’une section

Par définition l’aire A d’une section est définie par l’intégrale:

Définition

Le centre de gravité G d’une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n’importe quel axe passant par ce point est nul.
On peut dire que le moment statique d’une section est égal au produit de l’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l’axe.
Les figures (1.3) et (1.4) montrent des exemples de positions de centres de gravité.

Moment d’inertie

Définition

On définit le moment d’inertie ou moment quadratique d’une section comme le degré de résistance de cette section aux efforts extérieurs appliqués, en tenant compte de la forme de cette section.

Théorème

Le moment d’inertie polaire d’une section par rapport à tout point de cette section est égal à la somme des moments d’inertie par rapport à deux axes perpendiculaires passant par ce point.

Exemple 1.6

Pour le quart de cercle montré par la figure (E1.6-a), calculer le moment quadratique polaire IO.

Variations des moments d’inertie

Translation des axes

Soit une section A, ses moments d’inertie dans le système xoy: Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments d’inertie de la section A dans le système x’o’y’ en procédant aux translations des axes ox et oy conformément à la figure 1.6.

Théorème de Huygens

Le moment d’inertie d’une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d’inertie de la section par rapport à l’axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

Rotation des axes

Soit une section A, ses moments d’inertie dans le système xoy Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments d’inertie de la section A dans le système uov qui fait un angle  avec le système xoy (Fig. 1.8).

Module de résistance

Le moment de résistance d’une section droite est le rapport entre le moment d’inertie axial et la distance la plus éloignée de cet axe.

Conclusion

Dans ce chapitre, les caractéristiques géométriques des sections planes à manipuler dans le dimensionnement des éléments d’une structure sont présentées avec des exemples illustratifs.
Ce chapitre est accompagné de deux annexes. Dans la première annexe, les caractéristiques (aire, coordonnées du centre de gravité et moments quadratiques centraux) pour des sections usuelles sont données. Dans la deuxième annexe, on a présenté sous forme d’un tableau les étapes à suivre pour déterminer les moments d’inertie centraux pour des sections composées en procédant par décomposition en sections usuelles.

Efforts tranchants, moments fléchissants

Soit la poutre ci-dessous soumise à la flexion simple. Imaginons une coupure en un point C qui divise la poutre en deux parties notées gauche et droite. Chacune de ces deux parties est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs qu’elle reçoit et sous l’action des effets de l’autre partie (efforts intérieurs).

Efforts tranchants, moments fléchissants

Diagrammes des Efforts tranchants et des moments fléchissants

Le diagramme des efforts tranchants est la courbe représentative de la fonction T(x) et le diagramme des moments fléchissants est la courbe représentative de la fonction M(x), où x est l’abscisse de la poutre de l’une de ses extrémités.

Relation entre moment fléchissant et effort tranchant

Considérons un élément de poutre pris entre deux sections ( ) et ( ‘) infiniment voisines, distantes de dx (Fig. 2.6).

Déformée d’une poutre soumise à la flexion simple (flèche)

Sous l’effet des sollicitations auxquelles elle est soumise, une poutre se déforme. On désigne par flèche à l’abscisse x, le déplacement du centre de gravité de la section correspondant à cette abscisse. Elle est comptée positivement si le déplacement s’effectue vers le bas. Le nouveau lieu des centres de gravité de toutes les sections de la poutre prend le nom de déformée (Fig. 2.9).

Calcul des contraintes

Cas de la flexion pure

On dit qu’une poutre est sollicitée en flexion pure si toutes les composantes des efforts intérieurs sont nulles à l’exception du moment fléchissant (MfZ of Mfy  0) (Fig. 2.11). Autrement dit le moment fléchissant est constant,

Dimensionnement à la condition de résistance

Le dimensionnement d’une poutre fléchie à la condition de résistance passe par les étapes suivantes:
1- Tracé du diagramme de Mf (MZ ou MY) le long de la poutre,
2- Détermination de la section dangereuse à partir du digramme de Mf,
3- Calcul de la contrainte maximale max, c’est-à-dire la contrainte au niveau du point dangereux le long de la section transversale de la poutre,
4- Satisfaction de la condition de résistance qui s’écrit selon la méthode des contraintes admissibles comme suit:

Remarques

Pour la plus part des cas, on peut montrer que xy max /x max est du même ordre que h/L. Donc, la valeur de xy max peut être proche de la valeur de x max pour les poutres où h est comparable à L (pour les consoles courtes par exemple). Dans ce cas la condition xy max  [] peut être déterminante en calcul à la résistance.
Cependant, habituellement on utilise en construction des poutres pour les quelles h L et par conséquent, xy max   x max . Dans ce cas la condition xy max  [] est satisfaite si la condition x max  [] est satisfaite. C’est pourquoi, ordinairement le calcul à la résistance des poutres fléchies s’effectue selon la condition x max  [] pour la section où MZ est maximal. La condition xy max  [] composée pour le point où xy est maximale (dans la section où Ty est maximal) sert à la vérification.