Résistance des matériaux (Hypothèse de continuité)

Milieu continu

Tous les développement de la Mécanique sont basés sur la conception fondamentale d’un milieu continu dont les transformations sont continues.

Hypothèse de continuité

Un milieu continu est un milieu dans lequel les propriétés physiques varient d’une facon continue d’un point a un autre. Nous savons bien que la matière est discontinue `a l’échelle moléculaire, souvent même a une échelle beaucoup plus grande : échelle des grains constituant un métal ou une roche ou a l’échelle des sphérolites dans les polymères semi-cristallins (Figure I.1). Mais la mécanique des milieux continus se place `a une échelle macroscopique. A cette échelle la matière apparait comme un milieu continu. Le point de vue macroscopique offre l’avantage d’éviter toute hypothèse sur la constitution intime de la matière.

Continuité des transformations

On admet que deux points matériels infiniment voisins `a l’instant 0 restent infiniment voisins `a tout instant ultérieurs t. On admettra également que deux points matériels infiniment voisins `a l’instant t proviennent de 2 points infiniment voisins `a l’instant 0. On exclut donc la possibilité de la superposition c’est-`a-dire du mélange de deux portions initialement distinctes. L’hypothèse de continuité des transformations entraine un certain nombre de conséquences : 1. Des points matériels qui `a l’instant 0 forment un ensemble continu, courbe ou surface, forment encore un ensemble continu `a l’instant t et réciproquement. A un ensemble fermé correspond un ensemble fermé. 2. Les points matériels qui `a l’instant initial se trouvent `a l’intérieur d’une surface fermée restent `a tout instant `a l’intérieur de la surface transformée. 3. La masse contenue `a l’intérieur d’une surface matérielle fermée reste constante au cours du temps. 4. Les éléments matériels qui a un instant donné forment la frontière d’un milieu continu en forment encore la frontière `a tout autre instant.
Exemple 1 Soit, par exemple, un iceberg flottant en mer (Figure I.2). Si l’on suppose que la transformation du liquide est continue alors les molécules d’eau qui sont a` l’interface avec
la glace de l’iceberg le reste `a tous instant. Le constat est identique avec les molécules `a l’interface entre l’air et l’eau.

Phénomène ne respectant pas la continuité

On devine par l’exemple précédent dans l’hypothèse de la continuité des transformations doit quelquefois être trop absolue. Il est manifeste qu’elle n’est pas vérifiée dans les cas suivants : 1. formation de trous : cavitations dans les liquides, fissures dans les solides; 2. glissement relatif de parties du milieu : sillage dans les liquides, glissement ou` faille dans les solides; 3. choc de 2 veines fluides La figure I.3 donne des exemples de phénomènes qui ne vérifient pas l’hypothèse de continuité. L’hypothèse de continuité des transformations est, dans le cas des fluides, en contradiction avec la théorie moléculaire. En effet, dans un fluide, 2 molécules infiniment voisines `a l’instant initial ne restent pas infiniment voisines. L’hypothèse de continuité confère `a un élément de matière macroscopique une existence durable. Elle implique l’existence d’une petite surface fermée, frontière de l’élément, a l’intérieur de laquelle resteraient toujours les mêmes particules matérielles. Ceci n’est acceptable que dans le cas des solides. Dans les fluides et surtout dans les gaz, les éléments de matière macroscopiques se désintègrent en un temps très court par suite `a l’agitation thermique. Cependant c’est un fait que la théorie fondée sur l’hypothèse de continuité donne une représentation très exacte de la plupart des phénomènes. La validité de cette hypothèse doit être considérée comme établie par l’accord de ses conséquences avec la réalité. L’accord entre la théorie moléculaire et la théorie des milieux continus se rétablit dans le cas des fluides et des gaz si l’on ne considère que la vitesse moyennes de particules. Autrement dit la théorie des milieux continus ne retient que la vitesse moyenne des molécules et fait abstraction de leur vitesse d’agitation.

Déformation

Les changements de forme des matériaux ou des structures jouent un role essentiel dans les procédés de fabrication de composants industriels mais aussi dans leur tenue en service. La figure I.4 montre un réseau régulier de cercles tracés sur une tˆole d’acier galvanisée destinée `a l’emboutissage de pièces dans l’industrie automobile (portières, ailes, …). Un exemple d’embouti obtenu `a partir de cette tole par poinconnage est donné sur la figure I.4. On constate sur cette pièce que les cercles ont gardé leur forme initiale dans certaines zones et sont devenues des ellipses dans d’autres. La (( déformation )) de la pièce n’a donc pas été homogène. L’objectif de ce chapitre est de mettre des concepts, des outils mathématiques et des chiffres derrière le mot déformation. Dans le cas de l’emboutissage, l’enjeu est alors de déterminer quelles sont les déformations critiques que peut supporter une telle tole avant de rompre localement..