Réseaux des applications couplées

L’application et les opérateurs

Un réseau d’application couplée (coupled map lattice) est un système dynamique qui modélise le comportement de systèmes non linéaires. Ils sont principalement utilisés pour étudier qualitativement la dynamique chaotique de systèmes étendus spatialement. D’autres part, la dynamique des systèmes chaotiques couplés et mutuellement interactifs est extrêmement riche et peut afficher des propriétés qui ne sont pas détectables dans le comportement des éléments individuels. Parmi les plus simples de ces systèmes, les réseaux d’applications couplées, composés d’un ensemble d’applications à faible dimension dont l’évolution est déterminée à la fois par leur propre dynamique et par la dynamique des autres éléments de l’ensemble. Les schémas de couplage de réseau peuvent être locaux ou globaux. Pour le couplage local, chaque application interagit uniquement avec ses voisins les plus proches. Dans un schéma de couplage global, cependant, l’évolution de chaque application est affectée par la dynamique de toutes les autres applications. Il a été introduit pour la première fois par Kaneko dans [13] et a ete étudié successivement, entre autres, par P. Ashwin [14] (et ses références).
Dans toute cette thèse, nous notons (CML) pour le réseau de n ∈ N ∗ applications unidimensionnelles couplées.

Réseaux des applications couplées

Soit T une application dilatante par morceaux de l’intervalle unité I dans lui-même avec un nombre fini de branches q. Supposons que T est de classe C2.

Propriétés Spectrales

Les propriétés spectrales de l’opérateur PF deviennent intéressantes lorsqu’il s’agit des espaces de Banach appropriés. Donc, nous supposons qu’il existe un espace de Banach B de norme k·kB qui est injecté d’une façon compacte dans L 1 et il vérifie les propriétés suivantes.
Remarque 2.2.2. Il est bien connu qu’avec nos hypothèses sur T, la dynamique découplée Tˆ 0 (c’est-à-dire γ = 0 dans (2.3)) satisfait P1 sur tout espace fonctionnel raisonnable B. Par conséquent, le Théorème de décomposition spectrale de Ionescu-Tulcea-Marinescu (voir [62]), garantit l’existence d’un nombre fini de composantes ergodiques absolument continus. Ils se réduisent à une unique mesure mélangeante absolument continue, ce qui est équivalent à P2, avec une condition de transitivité topologique sur l’application T, ce qui pourrait être obtenue en demandant, par exemple, que T soit Bernoulli, Markov, couvrant, etc. . .
Dans la suite de cette partie, nous ajoutons des nouvelles hypothèses que cet opérateur doit satisfaire pour appliquer la théorie des perturbations aux systèmes ouverts. Le but est de comparer les opérateurs Pˆ et ePl et d’obtenir une expansion asymptotique pour le rayon spectral de ePl proche de 1 quand l est assez grand. Nous verrons qu’il donnera l’IE dans la distribution limite de la loi de Gumbel. Nous suivons en particulier le schéma proposé par Keller dans [64], qui est également résumé dans [65] et au chapitre VII du livre [66] auquel nous nous reportons pour plus de détails. Dans la deuxième partie de [64], il y a six hypothèses. Les trois premières demandent l’uniformité (dans le paramètre « bruit ») et la quasi-compacité de l’opérateur ePl . Nous les résumons dans la seule hypothèse suivante :

Les Espaces Quasi-Hölder

Dans cette partie, nous allons rappeler l’espace des fonctions quasi-Hölder qui a été introduit par Keller [63] pour des applications unidimensionnelles. Saussol a la suite généralisé à des applications dilatantes par morceaux multidimensionnelles. Dans le cas unidimensionnel, l’espace généralement utilisé est celui des fonctions à variations bornées. Étant donné un ensemble de Borel A de I n , nous définissons l’oscillation d’une fonction h ∈ L 1 (In ) par :

Vérification des hypothèses

Dans cette partie, nous allons montrer que les espaces quasi Hölder vérifier les six propriétés que nous avons supposées.
Les hypothèses que nous avons sont particulièrement adaptées à la nature et la régularité des bords des domaines Uk. Toutes ces hypothèses nous permettront de prouver que Vα est invariant par l’opérateur Pˆ quand α = 1. De plus, l’inégalité de Lasota-Yorke sera vérifiée chaque fois que :
Maintenant, nous donnons un exemple simple qui satisfait P1-P3 pour l’espace H. Les propriétés P4 et P5 découlent des arguments ci-dessus.
La propriété P6 sera prouvée dans le chapitre suivant sous une hypothèse supplémentaire (que nous l’appellerons P0) et pour une classe des applications plus grande. Aussi, nous soulignons que notre exemple sera utilisé dans simulations numériques que nous aborderons dans le quatrième chapitre de cette thèse. De plus, les techniques que nous utilisons pourraient être étendus facilement à d’autres transformations qui ne sont pas nécessairement affines.
Exemple 2.4.2. Comme l’application T est unidimensionnelle, donc nous prenons T(x) = 3x mod 1. En couplant cette application n fois comme dans (2.3), nous obtiendrons une application uniformément linéaire par morceaux à dimension supérieure.
Tout d’abord, nous remarquons que cette application n’est pas nécessairement continue sur le n tore, mais elle vérifie l’hypothèse P0 de le chapitre suivant.

Réseaux Des Applications Couplées

L’inégalité de Lasota-Yorke peut être prouvée pour l assez grand, disons pour l > l0 si nous vérifions la condition (2.20). Si cette condition n’est pas vérifiée pour l’application Tˆ, alors il suffira de l’obtenir pour une itération de Tˆ. Cela est garanti par [69, Théorème 1] qui est valable pour les applications dilatantes linéaires par morceaux dont les domaines d’injectivité locale sont bornés par des polyèdres. Les constantes η et C dans (2.8) dépendent simplement du taux de contraction sn = 3−n à la puissance l.
Ensuite, l’étape suivante consiste à prouver la borne dans (2.9). Ceci peut être facilement réalisé en adaptant la preuve de [65, Proposition 4.3] ou du [70, Lemme 7.5]. Les ingrédients de base de ces preuves sont :
Par la structure de l’application (2.3), nous pouvons voir immédiatement que la distance au point (i) est d’ordre γ multiplié par une constante dépendante de la dimensionnalité de l’espace ambiant. Le rapport des déterminants au point (ii) est d’ordre (1 − γ) n (pour le détail, voir la démonstration de la Proposition 3.1.4). Cela suffit pour obtenir la borne de (2.9). Enfin, nous devons vérifier que la densité invariante pour l’application T est bornée au voisinage de zéro, Nous disposons au moins de deux critères pour cela.
Le premier est pris de la Section 7.3.1 dans [70] et nécessite :
• L’existence d’un domaine d’injectivité locale Uk dont l’image est l’hypercube complet I n. La deuxième est décrité dans [71, Lemme 5.3] et nécessite ce que nous appelons « topological exactness » :