Réseaux de Petri hybrides

Commande d’une unité de stockage de gaz naturel par réseaux de Petri hybrides

Réseaux de Petri

Le terme « réseaux de Petri » désigne une famille de graphes orientés, munis d’un formalisme mathématique qui fait intervenir la manipulation des nombres entiers ou réels positifs ainsi que l’algèbre linéaire. Plusieurs classes de réseaux de Petri ont été développées et étudiées. Parmi celles – ci on distinguera les réseaux de Petri autonomes dépourvus d’horloge interne et30 les réseaux de Petri dépendant du temps qui en sont pourvus. Pour les premiers, seul l’ordre d’apparition des événements est pris en compte alors que pour les seconds les instants d’occurrence des événements interviennent également. On retiendra également les réseaux de Petri continus utilisés pour représenter les systèmes continus et les réseaux de Petri hybrides utilisés pour représenter les systèmes hybrides. A ces réseaux, il faut ajouter les réseaux de35 Petri commandés pour lesquels l’évolution est dictée par des événements extérieurs. Ces derniers ne seront pas abordés dans ce document.
Réseaux de Petri autonomes Un réseau de Petri autonome est un graphe orienté qui comporte deux types de nœuds : les places représentées par des cercles et les transitions représentées par des traits ( figure 1a ). A40 chaque place est associé un marquage qui est un nombre entier correspondant au nombre de jetons dans la place. Un jeton est un petit disque noir qui représente généralement une ressource disponible dans la place où il se trouve. Le marquage initial indiqué sur la figure 1a est ( 2, 1, 0, 0 ). Le marquage correspond à l’ordre croissant des indices, c’est à dire à ( m1, m2, m3, m4 ). Les transitions T1 et T3 sont sensibilisées parce qu’il y a au moins un jeton dans45 chaque place d’entrée de ces transitions. Le franchissement consiste à retirer un jeton de chacune des places d’entrée et à rajouter un jeton à chaque place de sortie de la transition franchie. Le franchissement de T1 conduirait au marquage ( 1, 1, 1, 0 ) et le franchissement de T3 conduirait à ( 2, 0, 0, 1 ). Tous les franchissements possibles apparaissent sur le graphe des marquages. Notons que, pour l’exemple de la figure 1a, il y a deux invariants de marquage50 m1 + m3 = 2 et m2 + m4 = 1. L’état du PN peut donc être représenté par ( m1, m2 ) au lieu de ( m1, m2, m3, m4 ) qui est redondant. Le graphe des marquages peut être représenté dans le plan ( m1, m2 ) ( figure 1b ) et on peut constater qu’il y a 6 états possibles.

Réseaux de Petri continus

Un réseau de Petri continu autonome CPN est défini comme un cas limite de réseau de Petri discret : chaque jeton est découpé en k jetons plus petits et k tend vers l’infini. La figure 1c montre un CPN : les places et transitions sont représentées à l’aide de doubles traits. Le marquage initial indiqué est aussi ( 2, 1, 0, 0 ) mais dans ce cas le marquage est représenté par80 un vecteur de nombres réels et non plus entiers. Dans l’état initial, les transitions T1 et T3 sont sensibilisées, puisque les marquages de leur place d’entrée ne sont pas nuls. Ces deux transitions peuvent être franchies. On définit maintenant une quantité de franchissement qui est un nombre réel compris entre 0 et 1. Par exemple pour une quantité de franchissement de 0.2 de la transition T1, on atteint le marquage ( 1.8, 1, 0.2, 0 ). On peut observer qu’il y a un85 nombre infini de marquages accessibles qui correspondent à la partie grisée du plan ( figure 1d ). Plus formellement, un réseau de Petri continu CPN avec n places et p transitions est défini comme un PN, mais Pre: P × T → IR + et Post: P × T → IR +. De plus M = ( mi )i=1,…,n ∈ IR + n, M0 ∈ IR + n, et X = ( xj )j=1,…,p ∈ IR + p.90

Réseaux de Petri hybrides

Un réseau de Petri hybride HPN comporte des places continues et discrètes ainsi que des transitions continues et discrètes ( figure 1e ) Sur cet exemple, les places continues sont P1 et P3 et les transitions continues correspondent à T1 et T2. D’autre part, les places discrètes sont P2 et P4 et les transitions discrètes correspondent à T3 et T4. Considérons le franchissement de95 la transition continue T1. Pour une quantité de franchissement de 0.1 on obtient le marquage ( 1.9, 1, 0.1, 0 ). On a retiré 0.1 à P1 et P2 qui sont les places d’entrée de la transition et on a ajouté la même quantité à P2 et à P3 qui sont les places de sortie. On peut constater que le marquage de la place P2 reste un nombre entier car on a retiré et ajouté la même quantité. Le marquage accessible correspond aux deux segments grisés ( figure 1f ) On se déplace de façon100 continue le long d’un segment par franchissement continu de T1 ou T2 et on commute d’un segment à l’autre par le franchissement discret de T3 ou T4.Plus formellement, un réseau de Petri hybride HPN avec n places et p transitions est défini par < PN, h > où PN est un réseau de Petri et h : P ∪ T → {D, C} est la fonction « hybride » qui105 indique pour chaque nœud s’il est continu ou discret. Les fonctions Pre et Post doivent satisfaire le critère suivant : si Pi est une place discrète et Tj est une transition continue alors Pre ( Pi, Tj ) = Post ( Pi, Tj ).