Réseau optique

Introduction

Un phenom ´ ene de la physique qui a particuli ` erement captiv ` e l’attention des physiciens est celui ´ des interferences. C’est un m ´ ecanisme ondulatoire bien connu qui met en jeu deux ou plusieurs ´ ondes de memes fr ˆ equences qui peuvent s’annuler en un point lorsqu’elles sont en opposition de ´ phase ou, a l’inverse, s’ajouter lorsqu’elles sont en phase. C’est un ph ` enom ´ ene tr ` es g ` en´ eral et ces ´ interferences peuvent se manifester avec tout type d’onde : sonores, lumineuses ou autre. Certains ´ physiciens ont propose d’utiliser ces interf ´ erences afin de manipuler des objets capables d’inter- ´ agir avec ces ondes. Cela a notamment et´ e fait avec des ondes acoustiques [69, 70, 71] mais, dans ce ´ chapitre, nous allons voir une application de ce phenom ´ ene dans le cas d’onde lumineuse [72] : le motif d’interference d’ondes lasers permet de fac¸onner des potentiels permettant de contr ´ oler les ˆ degres de libert ´ e externes de nuages d’atomes. Ces potentiels optiques peuvent manipuler des en- ´ sembles atomiques de differentes mani ´ eres [73], par exemple en utilisant de la lumi ` ere r ` esonante ´ [74, 75, 76] ou hors resonance [77, 78] avec une transition atomique, pr ´ esentant un profil foca- ´ lise [79] ou, ´ a l’inverse, collimat ` e [80, 81, 82], statique ou d ´ ependant du temps [33], perturbatif ´ [83] ou en forte interaction [84] etc. Chacun de ces regimes de param ´ etres permet d’optimiser ` ces potentiels lumineux pour differentes applications comme par exemple pour mettre en place ´ des horloges extremement pr ˆ ecises [85, 86], des gravim ´ etres [87, 88], des gyroscopes [89, 90], des ` gradiometres [91] ou encore pour mesurer des constantes fondamentales de la physique [92, 93] ` dans une perspective metrologique. L’utilisation d’interf ´ erences de faisceaux lasers afin de mani- ´ puler des atomes a donc une forte retombee en recherche fondamentale comme appliqu ´ ee. Dans ´ce chapitre, nous allons nous concentrer sur l’utilisation de ces potentiels dans l’etude et la manipulation de fonctions d’ondes a` N corps, les condensats de Bose-Einstein present ´ es dans le cha- ´ pitre prec´ edent. Sur notre exp ´ erience, nous utilisons l’interf ´ erence de deux faisceaux laser contra- ´ propageants et focalises pour cr ´ eer un potentiel unidimensionnel, p ´ eriodique spatialement et qui  peut etre d ˆ ependant du temps. Il est repr ´ esent ´ e sch ´ ematiquement sur la figure 3.1. l’utilisation ´ de ce type de potentiel pour manipuler des condensats de Bose-Einstein a mene certains physi- ´ ciens a nommer ce type de syst ` emes des ` cristaux de lumieres ` de par l’analogie qu’il existe avec le potentiel ionique que ressentent des electrons dans un cristal. Les techniques exp ´ erimentales que  nous developpons dans cette these pour manipuler ces ondes de mati `eres ouvrent de nouvelles  possibilites de contr ´ ole pour les differentes applications citees precedemment. ´
Ce chapitre a pour vocation de rappeler les el´ ements th ´ eoriques n ´ ecessaires pour comprendre les ´ reseaux optiques et de donner les sp ´ ecificit ´ es de notre dispositif exp ´ erimental. Dans une premi ´ ere ` partie, je presenterai un outil permettant de d ´ ecrire le mouvement des atomes dans un r ´ eseau optique de maniere classique : l’espace des phases. Nous nous servirons de cet espace des phases ` afin de definir un ensemble de grandeurs caract eristiques du r eseau dont nous nous servirons ´ tout du long de ce manuscrit. Puis, je rappellerai le theor eme de Bloch et ses cons ` equences sur les ´ fonctions d’ondes evoluant dans un potentiel p ´eriodique. Ce th ´ eor ´ eme nous permettra d’obtenir  le spectre en energie du r ´eseau optique, aussi appel ´ e structure de bande.

Théorie des réseaux optiques

Dans cette partie, nous allons presenter deux formalismes permettant d’aborder le comportement ´ des atomes dans un reseau optique : le premier est bas ´ e sur les equations classiques du mou- ´ vement en considerant les atomes comme des particules ponctuelles et le second est fond ´ e sur ´ l’equation de Schr ´ odinger et le theoreme de Bloch en considerant les atomes comme des fonctions ´ d’ondes.

Mouvement d’une particule classique dans un réseau optique ´

Avant de prendre en consideration le caract ´ ere quantique des atomes, il est utile de se faire une ` intuition de leur dynamique classique dans le potentiel cre´e par le r ´ eseau optique. Pour cela, nous´ considerons les atomes comme un ensemble de particules ponctuelles de m ´ eme masse ˆ m, chacune ayant une position x et une impulsion p.

Equations d’Hamilton

Connaˆıtre l’evolution d’une particule dans un potentiel ´ V pour une condition initiale (x0, p0) revient a resoudre les equations du mouvement d ´ etermin ´ ees ´ a partir de l’hamiltonien du systeme. ` L’evolution d’une particule soumis ´ a cet hamiltonien est donn ` ee par les ´ equations d’Hamilton.
L’ensemble des trajectoires sur cet espace est commodement repr ´ esent ´ e par un ´ portrait de phase. Ici, nous considerons un syst ´ eme unidimensionnel et ce portrait de phase est donc de dimension ` 2. Comme la dynamique de ce systeme est unidimensionnelle et que l’ ` energie totale est conserv ´ ee, ´ le systeme est dit ` integrable ´ au sens de Liouville : toutes les trajectoires sont reguli ´ eres ` , soit telles que pour deux conditions initiales (x0, p0) de l’espace des phases infinitesimalement proches, les ´ trajectoires associees resteront proches durant leur ´ evolution. Cela est ´ a contraster avec des trajec- ` toires chaotiques que nous aborderons dans la suite de cette these. Un exemple d’une telle trajec- ` toire chaotique est donne sur la figure 6.2 du chapitre 6 d ´ edi ´ e´ a l’e ` ffet tunnel assiste par le chaos. ´ Les equations d’ ´ evolution (3.8) sont analogues ´ a celles d’un pendule simple. Le portrait de phase ` associe pr ´ esente donc des trajectoires elliptiques concentriques ferm ´ ees pour les faibles impul- ´ sions correspondant a un mouvement d’oscillation et des trajectoires ouvertes pour les hautes ` impulsions correspondant a une rotation compl ` ete du pendule autour de son axe de rotation. ` l’interpretation de ces trajectoires dans notre contexte est qu’un atome plac ´ e au fond d’un puits ´ de potentiel avec une impulsion initiale va osciller autour du minimum d’energie pour une im- ´ pulsion faible, avec une amplitude d’oscillation de plus en plus grande a mesure que l’impulsion ` augmente, jusqu’a avoir su ` ffisamment d’energie pour sortir du puits et passer de site en site. Dans ´ ce cas, la trajectoire est dite ouverte ou non-liee.

Le theoreme de Bloch 

Considerons donc ´ a pr ` esent une fonction d’onde dans un potentiel p ´ eriodique ´ Vˆ (xˆ) a une dimen- ` sion, de periode ´ d, tel que Vˆ (xˆ +d) = Vˆ (xˆ). L’hamiltonien auquel est soumis la fonction d’onde est alors.

Structure de bande

Nous allons a pr ` esent montrer les cons ´equences de cette p ´ eriodicit ´ e spatiale sur la relation de ´ dispersion des atomes, aussi appelee structure de bande. En e ´ ffet, une propriet´ e remarquable est ´ que l’energie accessible aux atomes est un continuum lorsque la profondeur ´ s du reseau optique ´ est nulle mais presente des ´ gaps d’energie de plus en plus grands au fur et ´ a mesure que la pro- `
fondeur augmente.

Mise en œuvre expérimentale et utilisation du reseau optique ´

Dans notre experience, le reseau optique est obtenu par l’interf ´ erence de deux faisceaux lasers contra-propageants controlˆ es en puissance et en phase. Comme pour le pi ´ ege optique du pi ` ege ` hybride, la realisation du reseau optique repose sur la force dipolaire pour minimiser les e ´ ffets de chauffage et, afin d’etre dominante, le laser se doit d’avoir une longueur d’onde loin de la transi- ˆ tion atomique : comme pour le laser dipolaire utilise pour e ´ ffectuer le piege hybride pr ` esent ´ e dans ´ le chapitre 2, la longueur d’onde choisie est λ = 1064 nm. Les deux faisceaux contra-propageants sont des faisceaux gaussiens, d’amplitude E0, de vecteur d’onde k, de pulsation ω, de polarisation ez et possedant respectivement une phase ´ ϕ1 et ϕ2