Représentation formelle des jeux

Deux pays (A et B) considèrent l’état des relations politiques entre eux. Ils doivent choisir entre un état de guerre (G) et un état de paix (P). Si les deux choisissent la guerre alors chacun aura un gain de 2 points. Si un seul déclare la guerre alors il obtient 6 points et son voisin obtient 0 point. S’ils choisissent tous les deux de préserver la paix, chacun obtient un gain de 4 points. 1- Donnez l’ensemble des joueurs et l’ensemble des stratégies de chaque joueur. 2- Représentez le jeu sous forme stratégique. 3- Représentez le jeu sous forme développée.  Il s’agit d’un jeu entre deux enfants, Marie et Paul. Les deux choisissent simultanément un objet parmi les trois suivants : papier (P), ciseaux (Ci) et caillou (Ca). Selon ces choix, soit un des enfants gagne le jeu, soit il n’y a pas de gagnant (quand ils choisissent le même objet). Caillou gagne contre ciseaux, ciseaux gagne contre papier et papier gagne contre caillou.  Le montant des gains est défini de la façon suivante : l’enfant qui gagne obtient 2 points tandis que celui qui perd obtient 0 point. En cas d’égalité, chacun des deux enfants obtient 1 point.

1- Décrivez l’ensemble des joueurs et l’ensemble des stratégies de chaque joueur. 2- Ecrivez le jeu simultané sous forme stratégique 3- Ecrivez le jeu simultané sous forme développée 4- Ecrivez le jeu simultané sous forme développée si Paul triche et observe le choix de Marie avant de jouer. 5- Ecrivez le jeu simultané sous forme extensive si Paul observe le choix de Marie que si  elle choisit caillou. Exercice 3 : Enchères Une unité d’un bien est mise aux enchères. Il y a n acheteurs potentiels et l’acheteur i a une valuation (c’est-à-dire la valeur qu’il pense que le bien a) vi ≥ 0 pour ce bien. La procédure d’enchère est la suivante : chaque acheteur soumet une offre écrite sous pli scellé. Les plis sont transmis à un commissaire priseur. L’acheteur ayant soumis l’offre la plus haute remporte le bien et paye un prix égal à la seconde plus haute offre. En cas de gagnants ex- aequo, on tire au sort celui qui remporte le bien.

stratégies (L3, R1) sont (1, 4), y a-t-il un équilibre en stratégie dominante ? Le jeu est- il solvable par dominance itérative et dans ce cas quel est l’équilibre ? Pour chacune des questions, vous expliquerez votre raisonnement de manière détaillée. Exercice 2 : Enchères On reprend l’énoncé de l’exercice 3 (thème 1). Montrez qu’offrir sa propre valuation v est une stratégie faiblement dominante. Exercice 3 : On considère le jeu simultané à deux joueurs suivant :  1- Déterminez le(s) équilibre(s) de ce jeu en utilisant le concept de récurrence amont. 2- Dessinez la matrice des paiements correspondant à ce jeu (forme stratégique) et  Exercice 2 : La fureur de vivre Deux conducteurs A et B dirigent leur voiture l’une contre l’autre dans une rue trop étroite pour qu’elles puissent se croiser sans provoquer d’accident. Si un conducteur ralentit, tandis que l’autre garde la même vitesse, le premier conducteur perd la face : il obtient alors une utilité de 0 et son adversaire obtient 4. Si les deux ralentissent en même temps alors le jeu se termine par une égalité et les deux conducteurs obtiennent une utilité de 2. Si aucun ne ralentit alors l’accident arrive et chacun obtient une utilité de -2.

1- Précisez l’ensemble des joueurs et l’ensemble des stratégies de chaque joueur. 2- Donnez la forme stratégique du jeu. 3- Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu. 4- Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes après avoir préciser les 1- le résultat (I, 1) résulte de l’élimination des stratégies strictement dominées ; 2- le résultat (I, 1) soit un équilibre de Nash ; 3- le résultat (I, 1) soit un optimum de Pareto ; 4- le résultat (I, 1) ne soit pas Paréto-comparable avec (II, 2).