Représentation et analyse des systèmes linéaires

Théorie des systèmes et théorie de la commande

Notion de système

Un système, aggrégation d’éléments interconnectés, est constitué naturellement ou artificiellement afin d’accomplir une tâche prédéfinie. Son état est affecté par une ou plusieurs variables, les entrées du système. Le résultat de l’action des entrées est la réponse du système qui peut etre caractérisée par le comportement d’une ou plusieurs variables de sorties. Le système complet ou un des éléments le composant est généralement représenté schématiquement par un schéma fonctionnel consistant en un rectangle auquel les signaux d’entrée représentés par des flèches entrantes sont appliqués. L’action des entrées produit de manière causale des effets mesurés par les signaux de sortie représentés par des flèches sortantes. Notons ainsi que la notion de système est indissociable de celle de signal.
Les entrées affectant un système peuvent etre de nature différente. Les unes ont pour but d’exercer des actions entrainant le fonctionnement souhaité du système; ce sont les commandes. Les autres entrées troublent le fonctionnement désiré et sont définies comme des perturbations. Chaque élément constitutif de l’ensemble système peut etre caractérisé par un nombre fini de variables et l’interdépendance des variables caractérisant chaque élément peut etre exprimée sous la forme d’une loi mathématique. Ainsi la relation entre les entrées et les sorties du système est l’expression des lois de la physique associées au système, c’est a` dire la combinaison des lois mathématiques précédentes. L’ensemble des lois mathématiques régissant la causalité entre les entrées et les sorties du système constitue le modèle mathématique du système. La modélisation, étape préliminaire de l’analyse d’un système quelconque, indépendamment de sa nature physique, de sa composition et de son degré de complexité comporte donc les étapes suivantes :
– identification des variables pertinentes pour la caractérisation de chaque élément constituant le système, – caractérisation des relations entre ces variables, – représentation mathématique des intéractions entre les éléments a` travers la représentation mathématique des intéractions entre les variables, – formation d’un système de relations entre les variables caractérisant le système comme un tout, – formation d’un système de relations entre les variables d’entrée et les variables de sortie.
Il est important de remarquer que tous ces aspects de l’analyse des systèmes ainsi que ceux développés par la suite sont abordés en théorie des systèmes d’un point de vue abstrait plutot que d’un point de vue physique. Cela signifie qu’en théorie des systèmes, l’identité physique des variables associées a un système importe moins que les relations mathématiques entre ces memes variables.

Classification des systèmes

Jusqu’ici, aucune précision n’a été donnée sur le type de modèle mathématique utilisé dans le processus de modélisation. La modélisation dépend ainsi de la nature physique du système mais aussi des hypothèses simplificatrices qu’il est possible de faire. Traitant uniquement dans ce cours des systèmes dynamiques, leur comportement sera décrit par des équations différentielles dans le cas de modèles en temps continu ou par des équations récurrentes dans le cas de modèles en temps discret. Ces équations peuvent etre ordinaires dans le cas de systèmes a paramètres localisés dans l’espace ou a dérivées partielles pour les systèmes `a paramètres répartis. La figure 1.26 donne un apercu sommaire d’une classification des modèles mathématiques associés a différents types de systèmes. En gras, sont indiqués les classes de modèles qui sont l’objet de ce cours.

Théorie de la commande

Le processus préliminaire de modélisation achevé, les performances, au sens large, d’un système peuvent etre analysées et des méthodes de correction via l’action d’un système de commande peuvent etre proposées si une commande active est nécessaire et possible. La commande passive doit ainsi ˆetre distinguée de la commande active qui fait l’objet essentiel de ce cours.

La commande passive
Le principe de la commande passive consiste a modifier structurellement le système `a commander afin qu’il réalise au mieux les fonctions souhaitées. Connue également sous la dénomination de commande structurelle, cette technique s’applique principalement dans les domaines du controle des vibrations (acoustiques, mécaniques) affectant les structures mécaniques et dans le domaine du controle des écoulements laminaires et turbulents. – Controle acoustique pour la réduction du bruit (isolation phonique de véhicules, pièces, optimisation structurelle de dispositifs silencieux)

La commande active
A la différence de la commande passive, la commande active suppose l’emploi d’un dispositif spécifique appelé système de commande afin de modifier le comportement dynamique du système étudié. Le but d’un système de commande est donc d’exercer des actions entrainant une amélioration du comportement du système et de ses performances. L’ensemble des méthodes permettant l’analyse du comportement d’un système donné et la synthèse d’un système de commande satisfaisant des spécifications de performance précises définit la théorie de la commande. La théorie de la commande, branche de la théorie des systèmes, est par nature un domaine interdisciplinaire développé `a partir de solides fondements mathématiques avec un objectif très concret : développer des correcteurs/régulateurs pouvant etre mis en oeuvre sur des systèmes technologiques réels. Empruntant ses outils et ses bases théoriques aux mathématiques, la théorie de la commande permet la conception de systèmes de commande pour des domaines aussi variés que l’aéronautique, le spatial, l’industrie chimique, l’automobile, le génie électrique…