Régulation asymptotique robuste par retour d’état

Détermination de la commande du système étendu

Dans cette section nous discutons de possibles conceptions de retours d’état qui stabilisent l’origine du système commandé (5.37) de façon à garantir les hypothèses du Théorème 5.2. Le système étendu (5.7) possède une structure bloc-triangulaire qui a été largement étudiée au cours des années 1990, avec en particulier l’introduction des techniques de backstepping (voir Krstic et al. (1995) pour une présentation) et de forwarding. Cette dernière a été développée de différentes manières. Notamment i) en utilisant des conceptions de type Lyapunov avec un terme de couplage dans Jankovic et al. (1996) ; ii) par changement de coordonnées dans Mazenc et Praly (1996) ; iii) en utilisant des saturations dans Teel (1996). Nous nous appuierons dans nos travaux sur ces deux dernières techniques. L’intérêt que nous avons porté aux techniques de forwarding est dû à la possibilité qu’elles offrent de simplement « étendre » un contrôleur existant qui stabilise l’origine de (5.6) par retour d’état statique. Dans la suite, nous nommons φ(x) ce contrôleur. Hypothèse 5.1 (Stabilité de l’équilibre du système contrôlé statiquement). Nous connaissons une fonction continue φ : Rn → Rm telle que l’origine est un équilibre asymptotiquement et localement exponentiellement stable de x˙ = f(x) + g(x)φ(x), (5.46) avec D comme bassin d’attraction. 

Exemples d’applications

Stabilisation de l’oscillateur de Zhukovskii Telle qu’elle a été présentée au Chapitre 3, la dynamique de l’oscillateur de Zhukovskii est une première approximation de la dynamique longitudinale du vol d’un avion. Celle-ci est donnée par V˙ = e − sin γ, γ˙ = lV 2 − cos γ V , (5.70) où V ∈ R+ ∗ est la vitesse et γ ∈ R est la pente de vitesse. Les commandes sont le facteur de portance l et le facteur de propulsion e. Ce système possède des solutions périodiques stables pour des valeurs fixées e = 0 et l = V −2 0 > 0. En effet, il peut facilement être vérifié que l’équilibre (γ = 0, V0) est stable en utilisant la fonction énergie W(V, γ) = V 3 + 2V 3 0 − 3V V 2 0 cos(γ), (5.71) qui est définie non négative pour tout (V, γ) ∈ R+ × [−π ; π] et ne s’annule qu’en (V, γ) = (V0, 0), et dont les sous ensembles de niveau ne contiennent aucun point avec V ≤ 0 si W(V, γ) < 2V 3 0 . Un simple calcul montre que W(V, γ) est constante le long des trajectoires.

Stabilisation d’un PVTOL

Un modèle de PVTOL, schématisé Figure 5.3, est donné dans (Isidori et al., 2003, Section 3.2) par x˙ = vx, v˙x = − F m sin θ + �1 T m cos θ, (5.92a) z˙ = vz, v˙z = F m cos θ + �1 T m sin θ − g, (5.92b) ˙ θ = ω, ω˙ = T J �2, (5.92c) où �1 ≈ 0 et �2 ≈ 1 modélisent un dés-alignement de la poussée dans le repère engin. Les commandes de ce modèle sont la force F et le couple T. Nous voulons construire une loi de commande qui régule la position (x, z) du PVTOL à une référence donnée (x0, z0). Pour cela, on propose de négliger l’influence de �1 dont la présence complique hautement la réalisation de la loi de commande, et nous supposons la masse m, le moment J et �2 unitaires. Aussi, nous supposons que les valeurs admissibles pour T sont telles qu’elles permettent l’existence d’une séparation d’échelle de temps entre la dynamique de rotation et la dynamique de vitesse, nous autorisant ainsi à implanter un contrôle hiérarchique. Remarque 5.3. La commande d’un PVTOL est un sujet qui a déjà été largement abordé dans la littérature dans le domaine automatique. Le présent exemple a pour seul objet d’illustrer la démarche de l’ajout d’une action intégrale à un contrôleur déjà existant.