Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type hyberbolique

Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type hyberbolique

La forme normale de Birkhoff

On réduit ici l’étude de Hw(y, hDy; h) microlocalement près de γ0 à celle d’un opérateur à coefficients 2π-périodiques, que l’on met ensuite sous la forme normale de Birkhoff (BNF). Dans ce paragraphe, on notera pour simplifier H son symbole principal plutôt que H0 quand aucune confusion n’est à craindre. a) Préliminaires géométriques. On commence par supposer (H.5.1) selon laquelle Re µj > 0, 1 ≤ j ≤ d (cas complètement he). Il est classique [AbMa] que les hypothèses ci-dessus garantissent l’existence de variétés Γ± et γ dans un voisinage de γ0; i.e. en tout point ρ ∈ γ, on a la décomposition (1.1) TρΓ+ + TρΓ− + Tργ = T ∗Rn o`u Γ± sont les variétés sortante/entrante pour XH (variétés involutives), et γ = Γ+ ∩ Γ− la variété centre (variété symplectique), dim Γ± = n + 1, dim γ = 2. On note par (y, η) des coordonnées globales dans T ∗Rn . Suivant [GeSj1] on commence par trouver des coordonnées locales symplectiques adaptées au problème. Au voisinage de γ0 il existe un système de coordonnées symplectiques (t, τ, x, ξ) ∈ T ∗S 1 ⊕σ T ∗Rd (o`u ⊕σ désigne l’orthogonal symplectique pour la 2-forme standard) telles que ξ = 0, dξ 6= 0 sur Γ+, resp. x = 0, dx 6= 0 sur Γ−, et (t, τ ) parametrisent γ. On considère plutôt l’ensemble des (τ, x, ξ) comme un espace fibré de base S 1 . Plus précisément, on peut trouver des coordonnées symplectiques (x, ξ) sur la section de Poincaré, telles que ξ = 0, dξ 6= 0 sur la variété sortante (instable), puis par le théorème de Darboux x = 0, dx 6= 0 sur la variété entrante (stable), enfin des coordonnées symplectiques (t, τ ) sur la variété centre de γ0. La coordonnée t est multivaluée, ce qu’on note par ext(t) = t + 2π, o`u ext désigne l’opérateur de prolongement (ou de monodromie) le long des courbes Hamiltoniennes voisines de γ (pour chaque valeur de E, l’une d’entre elles, notée γE, est périodique). La section de Poincaré à l’énergie E est l’intersection de la variété de contact {t = 0} par H−1 (E). On identifie localement toutes les sections de Poincaré à T ∗Rd , par l’intermédiaire des coordonnées (x, ξ).

 Déformations Lagrangiennes et résonances

Examinant à présent le problème des résonances, on détermine une certaine “fonction de fuite” G(y, η), qui s’interprète comme le symbole d’un opérateur conjugué à H en dehors de γ. La condition de non-capture (H.3) assure l’existence globale d’une telle fonction, cf. par ex. [GeSj1]; près de γ c’est le générateur des dilatations en la variable θ, convenablement modifié pour les hc. Les applications canoniques exp θXG, avec θ réel assez petit, sont quantifiées par des h-FIO unitaires. On s’intéresse d’abord à une “théorie locale” approchée des résonances au voisinage de γ, o`u la fonction G est quadratique. Bien qu’à proprement parler un tel opérateur, proche de l’opérateur modèle (0.9), n’ait pas de spectre discret, on voudrait ainsi définir (formellement) les résonances comme les valeurs propres de H(x, hDx; h) “microlocalisé” sur une variété IR linéaire ΛΦ1 ⊕ΛΦiθ . On appelle cette dilatation complexe la “phase linéaire”. On effectue aussi une transformation canonique associée à une transformation de FBI T0 (de type Bargman). Le poids pluri-sous-harmonique (plsh) correspondant à T0 est Φ0(t, x) = Φ1(t) + Φ2(x). Suivant la méthode des déformations Lagrangiennes [HeSj], on adapte le poids Φ1(t) + Φiθ(x) à divers domaines de T ∗Cn. La déformation principale (car c’est elle qui permet de calculer effectivement les résonances), et qu’on appelle “phase d’inflation”, s’opère au voisinage immédiat de γ. Elle consiste (formellement) à prendre θ = −π/4, ce qui ramène Φ1 + Φiθ à Φ0, et H à l’opérateur modèle. Le raccordement de la “phase linéaire” à la “phase d’inflation” se fait dans une phase intermédiaire, et on utilise pour cela des extensions quasi-analytiques et la formule de Stokes. On effectue aussi, un peu plus loin, des déformations dépendant du temps, puis enfin, des déformations que permet l’hypothèse de non capture (H.3), ce qu’on appelle la “phase géometrique”, de fa¸con à ce que H devienne elliptique partout en dehors de KE. Ce n’est qu’à cette étape qu’on sait définir proprement les résonances [HeSj]; mais pour simplifier on ne considère ici que la “phase linéaire” et la “phase d’inflation”. a) Fonctions de fuite et conjugaisons unitaires On commence par des dilatations réelles près de γ, i.e. dans le domaine de définition de BNF. On fera dépendre plus tard leur amplitude de h, avec plusieurs facteurs d’échelle convenablement choisis.

La “norme de flux”

Soit Hw(hDt, x, hDx) un opérateur auto-adjoint indépendant du temps, défini microlocalement près de (x, ξ) = 0, τ = 0, t ∈ R, et pour lequel la surface t = 0 est non caractéristique. On supposera, comme à la Sect.2, que Hw(hDt, x, hDx) est de la forme Hw(hDt, x, hDx) = hDt + Aw(hDt, x, hDx). a) Une propriété d’invariance. On va appliquer la Proposition 3.3 à C = i h [H, χ]. Lemme 4.1: Soit S(t, x, η) la solution de l’équation eikonale (3.3) avec S(0, x, η) = xη. Supposons que ∂ 2S ∂x∂η (t, x, η) reste dans la composante connexe de l’identité pour |t| ≤ T, et (x, η) ∈ neigh 0. Alors la solution de l’équation de transport (3.5) définissant le symbole principal a0(t, x, η) dans l’amplitude de K(t, E) verifie a 2 0 = M(t, x, η)ea 2 0

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