Réduction d’un modèle d’état modal par amalgame modal

Mesure de l’erreur de réduction

Nous retenons ici l’idée d’un critère quadratique pour quantifier l’erreur de réduction. Le choix de ce type de critère, largement préconisé dans divers domaines, se justifie principalement par les possibilités de calcul liées aux formes quadratiques. Sur l’étendue spatiale V du système étudié et pour une plage temporelle Vt dans [0, oo[, on définit naturellement l’erreur de réduction par VM € V et Vt G Vt e(M,t) = f(M,t) – T(M,t) (3.7) où T(M,t) et T(M,t) sont les températures au point M et à l’instant t, données respectivement par les modèles réduit et détaillé. D’après les équations des sorties de (3.3) et (3.5), cette erreur peut également s’écrire n N e(M,t) = J2 Xk{i)Vk{M) – £>,-(t)V;-(AÍ) (3.8) fc=l 3 = 1 Pour chaque sollicitation Uj(t), les autres étant nulles, nous pouvons calculer les états correspondants Xkj(t) (k — \—n) et X{j(t) (i = 1—N). Pour chacune des p sollicitations Uj(t), l’erreur correspondante est notée eJ (M, t). Ainsi, on définit le tableau d’écart suivant: E(M,t)= \e1 {Mj),e2 (M,t)—,ep (M,t)} [l,pj (3.9) telle que n N ¿(M,t) = J2 *kj(t)Vk(M) – J2 xl3{t)Vi{M) fc=i t=i Nous construisons finalement une mesure de l’erreur de réduction par la double intégrale M=[ [ tr\fT (M,t).Q(M,t).t:(M,t)}dMdt (3.10) JVtJV l J .

Description de la. méthode 45 où Q(M.t) est une fonction définie positive de l’espace et du temps.

Remarquons que cette mesure est une norme sur l’espace spatio-temporel des tableaux d’écart définis par (3.9). Par ailleurs le fait d’introduire la trace de la matrice \£T ,Q.£\ est équivalent à supposer nulles les interactions entre les différentes sollicitations. Les mesures de l’erreur introduites dans les différentes méthodes de réduction exposées au §2.3 peuvent être considérées comme des cas particuliers de (3.10).

Description de la méthode

Présentation générale

La méthode d’amalgame modal [53] repose sur une partition de l’espace des modes propres en quelques sous-espaces orthogonaux entre eux (au sens de (1.6)). Chaqiie sous-espace est engendré par un mode principal et quelques modes mineurs. Le caractère principal ou mineur d’un mode sera déterminé par un critère qu’on donnera au §3.3.4. A partir de chaque sous-espace, nous allons générer un pseudo-mode qui représente un « mélange » -ou encore amalgame- des modes propres du même sous-espace car on va réunir les caractères de plusieurs modes en un seul. Par cette opération d’amalgame, il s’agit d’apporter au mode principal de chaque sous-espace une information thermique récupérée sur les modes mineurs. Du point de vue mathématique, l’amalgame des fonctions propres d’un sousespace se fait en les combinant linéairement. Ainsi, la procédure d’amalgame appliquée à tous les sous-espaces de façon indépendante aboutit à l’obtention de n pseudo-modes {Vi(M) i = 1 • • -n} orthogonaux entre eux. La matrice P du modèle réduit (3.5) est alors composée des modes amalgamés P = fo{M),%{M)—Vn(M) Le nombre des modes amalgamés est égal à celui des modes principaux qui est aussi celui des sous-espaces orthogonaux. A partir de la connaissance des modes principaux d’amalgame, on tronque les matrices F et B (les lignes et colonnes conservées sont celles qui correspondent à ces modes) pour obtenir les matrices réduites F et B. Le vecteur d’état réduit x{t) contient les états associés aux seuls modes principaux. L’équation d’état réduite de (3.5) devient ainsi entièrement définie. La matrice statique S est identique à celle du modèle détaillé (S), ce qui permet au modèle réduit de converger vers le même régime asymptotique que celui du modèle détaillé. L’équation des sorties de (3.5) est donc aussi définie. On donne d’abord au §3.3.2 les notations utiles au suivi de la démarche formelle de la méthode proposée. Les deux étapes qui suivent sont consacrées à la méthode elle-même. On explique au §3.3.3 comment calculer les modes amalgamés en supposant une partition 46 3. Réduction d’un modèle d’état moda] par amaigame modal quelconque de l’espace des modes propres. Cette étape utilise une minimisation classique de la mesure de l’erreur .A4. L’incidence du choix de la partition de l’espace des modes sur la pertinence du modèle réduit obtenu est discutée au §3.3.4. Le nombre de partitions possibles étant grand (de l’ordre de C]y), on développe alors un algorithme original permettant de trouver l’une des meilleures partitions au sens de la mesure de l’erreur. 

Notation

Afin de faciliter la lecture de ce qui suit, il est utile de préciser les notations utilisées. Les sous-espaces orthogonaux d’amalgame -au nombre de n- sont notés Hk pour k = 1,2- • -n. Chaque sous-espace Hk est généré par un mode principal et quelques modes mineurs. Le nombre des modes associés à Hk est noté rifc ( n& > 1) de telle sorte que n N étant le nombre total des modes propres du modèle détaillé. Les îifc modes propres de Hk forment la base P¡t définie par Pfc = PîTA iïk étant une matrice [N, n¿] de projection appropriée Nous supposerons -pour une raison de simplicité- que le mode principal de Hk est placé dans la première colonne de P¿. Nous définissons aussi une fonction de projection qui donne l’indice dans P de chaque mode propre de Hk- Selon cette fonction de projection, le mode propre m (1 < m < TI¿ ) de Hk (de classement m dans P^) possède le classement u K {m) dans sa base d’origine P. En particulier, le mode principal de Hk est donc Vuk^y Cette fonction de projection est illustrée par la figure 3.2. Le mode principal Vuk^ de Hk est relié à P par fi- étant un vecteur [N] de projection appropriée Enfin, pour une fonction f(t) quelconque du temps, nous désignerons par [A/(i)!^ l’écart [f(h)-m)}. Avec ces notations, nous passons maintenant à la méthode proposée en expliquant d’abord les trois étapes qui la composent.