Réduction de modèles les différentes approches

Préliminaire

La formalisme modal appliqué à la thermique vient d’être présentée dans ses grandes lignes. L’exploitation de ce formalisme pour modéliser un système thermique consiste à mettre en forme le système matriciel regroupant (1.17) et (1.20) dans le cas continu, ou (1.29) et (1.31) dans le cas discret. Quelques avantages offerts par cette formulation ont été cités. Parmi eux, la possibilité de réduire la forme canonique (1.17) et (1.20) nous intéresse particulièrement dans ce chapitre. Mais avant de donner un résumé bibliographique sur ce sujet, posons d’abord le problème de réduction: Reprenons le modèle d’état modal (1.17) et (1.20), qui est de dimension1 N x(t) = Fx(t) + BÙ(i) ( y(t) = Hx(t) + SU(t) ‘ ‘ ‘ Partant de cette description, l’objectif de la réduction est de troiiver un modèle de dimension n , avec n «Ç N, et qu’on note ï(t) = Fx-(t) + BÙ(i) y(t) = Hx{t) + SU(t) De façon générale, les qualités que l’on peut attendre de ce nouveau modèle sont les suivantes: • fournir une bonne approximation (au sens d’un critère à préciser et qui dépend de la méthode) du vecteur des sorties y(t), éventuellement pour une classe d’entrées et/ou une plage temporelle données. • Atteindre le même régime permanent que celui donné par (2.1). • Posséder les mêmes caractéristiques de stabilité que le système (2.1). • Etre simple et si possible, relié mathématiquement même de façon approchée, au système (2.1). A ces qualités, qui pratiquement sont des contraintes, il est nécessaire de rajouter celles de la méthode employée pour opérer la réduction • Guider l’utilisateur lors du choix de la dimension « n  » du modèle réduit. • Ne pas être pénalisante en temps de calcul et/ou espace mémoire. Ces facteurs dépendent du matériel utilisé. Certaines de ces conditions peuvent être plus déterminantes que d’autres et dans certaines situations, on peut être amené à rajouter d’autres contraintes spécifiques. Cela dépend beaucoup de 1’utiüsation réservée au système (2,2). Naturellement, on peut penser que la complexité de la réduction s’accroît lorsque le nombre des contraintes imposées au système (2.2) augmente. En réalité, il existe des situations où une contrainte peut s’avérer particulièrement profitable. On verra ainsi, lorsque nous présenterons au chapitre 3 la méthode de réduction par amalgame modal, qu’une contrainte sur l’orthogonalité (relation semblable à (1.6)) de P (matrice des pseudo-modes associés au système (2.2)) facilitera les développements formels. Les recherches sur l’approximation des grands systèmes par des modèles d’état de dimension réduite a donné lieu à beaucoup de publications. En 1979, Michaïlesco [48] avait déjà recensé plus de deux cent publications relevant de divers domaines: automatique, mécanique, thermique • • •. Aujourd’hui ce sujet semble retenir sérieusement l’attention des thermiciens. Le dernier colloque [14] de la SFT (Société Française des Thermiciens) et l’école d’été de Cargèse [36] ont porté une attention particulière à la réduction de modèles thermiques et l’approche modulaire en modélisation. Les modèles réduits ne sont pas confrontés au problème d’instabilité numérique car le spectre des valeurs propres de l’opérateur £ de la chaleur (équation (1.2)) est à valeurs réelles négatives. Les méthodes de réduction que nous présentons dans ce chapitre produisent des modèles dont le spectre des valeurs propres est un sous ensemble du spectre original. Ainsi, ces méthodes ne comprennent pas de contrainte mathématique sur la stabilité du 2.2, Les méthodes de troncature 23 modèle réduit. Par ailleurs il n’est pas rare de rencontrer des techniques de réduction qui reposent sur la connaissance approfondie qu’on a du système étudié. Ces techniques n’étant pas généralisables. nous les écartons ici. Notre domaine d’investigation est donc celui des méthodes de réduction applicables à tout système thermique pouvant être décrit par un modèle du type (2.1). Parmi celles que nous décrirons, il y a celles que nous avons testées et qui nous ont permis d’apporter quelques conclusions. D y a ensuite celles qui ont retenu notre attention parce qu’elles présentent un intérêt ou s’inscrivent dans la même démarche de réduction que celle que nous préconisons ici. A la lumière de ce chapitre, nous comprendrons mieux les difficultés liées à ce sujet et la démarche qui nous a conduit à la formulation d’une nouvelle méthode: la réduction par amalgame modal que nous donnerons au §3. 

Les méthodes de troncature 

Présentation

Toutes les méthodes de troncature partent de la même idée: pour la. plupart des systèmes thermiques, seuls quelques modes propres sont importants pour la connaissance de leur comportement thermique relativement à un ensemble donné d’entrées et de sorties. U est donc envisageable de limiter le modèle détaillé (2.1) à la dynamique des seuls modes importants. Pour cela, on réorganise2 (2.1) de façon à faire apparaître deux parties: • une partie (indice d) associée aux modes importants (ou dominants). • une deuxième partie (indice /) associée aux modes qui ne sont pas jugés importants (ou faibles). (%3H ? h)(:;?<‘>) + (%) «o <-> 2 I1 s’agit de permuter des lignes ou des colonnes des différents tableaux du modèle d’état détaillé.

Réduction de modèles: les différentes approches »

Le modèle réduit (2.2) s’obtient alors en négligeant toute la partie indicée en / . Ainsi, le modèle réduit (2.2) est ici donné par x(t) = xd(t) F = Fd B = Bd et H = Hd On peut imager la troncature modale de manière simple en considérant un point d’observation particulier M0. La température dynamique en ce point est donnée par N ¿ = 1 où Vi(M0) i – 1—A » sont les fonctions propres du système thermique considéré au point M0. Si l’on ordonne maintenant l’ensemble des modes propres de telle sorte que les n premiers (Vf(M0) i = 1 • • -n) soient (en un sens à préciser par un critère) dominants et les autres jugés négligeables (V-(M0) j = n + 1 • • • N) alors T¿{M0,t) peut aussi s’écrire n N Td(M0,t) = J2^(t)Vf(M0)+ ]T xUt)V¡{M0) Cette dernière relation peut être représentée dans un repère dont l’abcisse représente la ‘ »direction » importante P¡¿ = [V’/—Kf] et l’ordonnée la « direction » faible P / = Wn+\ ‘ ‘ ‘ ^jvl- Cette représentation imagée est donnée sur la figure 2.1. La troncature est alors équivalente à faire l’approximation de Td(M0,t) par seulement sa projection sur P^ qui est J2ï=i xî(i)V?{M-o)- La qualité de la troncature conditionne la distance entre le point M0 et l’axe des abcisses: la meilleure troncature est obtenue lorsque, à tout instant, la distance entre M0 et l’axe des abcisses est minimale. Le choix des modes propres de la direction P<¿ est donc ici fondamental. Notons enfin que> quelle que soit la position initiale du point M0, sa trajectoire rejoint l’axe des abcisses au bout d’un temps fini qui ne dépasse pas globalement 4rn. De manière générale, les méthodes de troncature ne différent entre elles que par la manière de choisir les éléments propres importants qui conditionnent la partition (2.3). Chacune utilise un « critère » de sélection des modes importants. Aussi, nous résumons ci-dessous quelques critères de troncature modale souvent utilisés.