Réduction de modèles

Définition 1.10 La réduction de modèles est définit par la simplification des systèmes complexes de grande dimension. Cette reduction ne concerne que l’ordre du modèle. On distingue la réduction par diagonalisation et perturbation singulières. On considère le système continu à réduire, supposée commandable et observable, décrit par la représentation d’état : { 𝑥̇ = 𝐴 𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 (1.57) Avec dim(𝑥) = 𝑛x1, dim(𝑢) = 𝑝x1, dim(𝑦) = mx1 Le modèle réduit de dimension r conserve certaines propriétés intéressantes du système à réduire : stabilité, comportements statistique et dynamique, observabilité et commandabilité. Il est régi par les équations d’état : { 𝑧̇ = 𝐹 𝑧 + 𝐺𝑢 𝑦̂ = 𝐻𝑧 (1.58) où dim(𝑧) = 𝑟x1. Les matrices F, G et H sont de dimensions appropriées qu’il s’agira de déterminer. 1.15.1 Réduction par diagonalisation On considère une partition du système à réduire en deux sous-systèmes : { 𝑥̇ = 𝐴 𝑥 + 𝐵𝑢 = [ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 ] 𝑥 + [ 𝐵1 𝐵2 ] 𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 = [𝐶1 𝐶2]𝑥 (1.59) Si A est diagonalisable alors Λ = 𝑉 −1𝐴𝑉 est une matrice diagonale, V étant la matrice modale de A. sans perte de généralité, on suppose que Λ = diag(𝜆𝑖 ) avec 𝑅𝑒(𝜆𝑖 ) ≥ 𝑅𝑒(𝜆𝑖+1 ). On effectue le changement de variables : 𝑥 = 𝑉 𝑧 = [ 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉4 ][ 𝑧1 𝑧2 ] où dim𝑉1 = 𝑟 x 𝑟 d’où : { 𝑧̇ = Λ 𝑧 + 𝑉 −1𝐵𝑢 = [ Λ1 0 0 Λ2 ][ 𝑧1 𝑧2 ] + [ 𝐸1 𝐸2 ] 𝑢 𝑦 = 𝐶𝑉𝑧 = [𝑀1 𝑀2][ 𝑧1 𝑧2 ] (1.60) 26 Plusieurs stratégies de simplification sont alors possibles : a) Négliger la partie rapide Ceci revient à imposer 𝑧2 = 0, d’où : { 𝑥1 = 𝑉1𝑧1 𝑥2 = 𝑉3𝑧1 (1.61) On en tire : { 𝑧1̇ = Λ1 𝑧1 + 𝐸1𝑢 𝑦̂ = M1 𝑧1 (1.62) Finalement, on obtient le modèle réduit : { 𝑥̇1 = 𝐹 𝑥1 + 𝐺𝑢 𝑦̂ = 𝐻𝑥1 (1.63) Avec : { 𝐹 = V1Λ1 𝑉1 −1 𝐺 = V1𝐸1 𝐻 = M1 𝑉1 −1 (1.64) b) Négliger la dynamique des modes rapides En première approximation, on peut considérer que les modes rapides agissent instantanément sur le système. On ne retient donc que leur apport statistique. Ceci se traduit mathématiquement par 𝑧̇2 = 0. En utilisant l’équation modale du système, on obtient : 𝑧̇2 = −Λ2 −1𝐸2𝑢 (1.65) Puis 𝑥1 = 𝑉1𝑧1 + 𝑉2𝑧2 = 𝑉1𝑧1 − 𝑉2Λ2 −1𝐸2𝑢 𝑧1 = 𝑉1 −1 (𝑥1 + 𝑉2Λ2 −1𝐸2𝑢) Que l’on remplace dans l’expression de 𝑧1̇ : 𝑧1̇ = Λ1𝑧1 + 𝐸1𝑢 = Λ1𝑉1 −1𝑥1 + Λ1𝑉1 −1Λ2𝑉2 −1𝐸2𝑢 + 𝐸1𝑢 (1.66) Soit : { 𝑥̇2 = 𝑉1Λ1𝑉1 −1𝑥1 + (𝑉1𝐸1 + 𝑉1Λ1𝑉1 −1𝑉2Λ2 −1𝐸2 )𝑢 𝑦̂ = 𝑀1𝑉1 −1𝑥1 + (M1𝑉1 −1V2Λ2 −1𝐸2 − 𝑉2Λ2 −1𝐸2)𝑢 (1.67) 27 Finalement, le modèle réduit s’écrit : { 𝑥̇2 = 𝐹𝑥1 + 𝐺𝑢 𝑦̂ = 𝐻𝑥1 + 𝐷𝑢 (1.68) Avec { 𝐹 = V1Λ1 𝑉1 −1 𝐺 = V1𝐸1 + 𝑉1Λ1𝑉1 −1𝑉2Λ2 −1𝐸2 𝐻 = M1 𝑉1 −1 𝐷 = M1𝑉1 −1V2Λ2 −1𝐸2 − 𝑉2Λ2 −1𝐸2 (1.69) 1.15.2 Perturbations singulières On suppose ici que la dynamique du système peut être décrite par des équations de la forme : { 𝑥̇1 = 𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐵1𝑢 𝜀𝑥̇ 2 = 𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐵2𝑢 𝑦 = 𝐶1𝑥1 + 𝐶2𝑥2 + 𝐷𝑢 (1.70) Ou 𝐴11 contient la partie dominante du système (modes lents). Le coefficient 𝜀 est un paramètre de très faible valeur. Si on fait tendre 𝜀 vers 0, on obtient le modèle réduit recherché, (en supposant 𝐴22 inversible) : { 𝑥̇1 = (𝐴11 − 𝐴12A22 −1𝐴21)𝑥1 + (𝐵1 − 𝐴12A22 −1𝐵2 )𝑢 𝑦 = (𝐶1 − 𝐶1A22 −1𝐴21)𝑥1 + (𝐷 − 𝐶2A22 −1𝐵2 )𝑢 (1.71) La méthode des Perturbation singulières possède les propriétés suivantes : – Le modèle réduit a le même gain statique que le système initiale ; pour le vérifier, il suffit de se rappeler que le gain statique s’obtient en faisant 𝑥̇1 = 0 et 𝑥̇2 = 0. – Le modèle réduit est stable si le système initial est stable.

Robustesse de stabilité et de performance d’un système linéaire multivariable par μanalyse

La méthode de μ-analyse consiste à étudier la stabilité d’un système en boucle fermée soumis aux incertitudes paramétriques par la valeur singulière structurée. Ces incertitudes sont des erreurs de modélisation, soient des perturbations, comme une rafale de vent pour un système avion, qui affectent certains paramètres. Ces incertitudes peuvent être la cause d’une mauvaise évaluation de la dynamique du système, d’une identification peu précise des valeurs numériques des paramètres ou d’une variation de leurs valeurs.  L’idée de base est d’utiliser le principe de la Transformation Linéaire Fractionnaire linéaire (LFT) pour séparer les incertitudes, représentées par une matrice Δ, de la matrice nominale d’un système linéaire stationnaire stable. Théorème 1.08 : Pour deux matrices G et K stables, une condition suffisante de l’interconnexion GK est [1.11]: ‖𝐺𝐾‖∞ < 1 (1.72) Démonstration : ♣ On démontre par absurde cette condition. En effet, on suppose que cette condition soit vraie et que l’interconnexion GK soit instable. Alors d’après le critère de Nyquist, det(𝐼 + 𝐺𝐾) = 0 et on cercle l’origine. Par continuité, il existe donc 𝜍 ∈ [0,1] et une pulsation 𝜔0 telles que det(𝐼 + 𝜍𝐺𝐾) = 0. Par conséquent, il existe une valeur propre 𝜆𝑖 [𝐼 + 𝜍𝐺𝐾(𝑗𝜔0 )] = 0, c’est-à-dire qu’il existe une valeur propre 𝜇𝑖 [𝜍𝐺𝐾(𝑗𝜔0 )] = −1, 𝜇𝑖 [𝐺𝐾(𝑗𝜔0 )] = −1 𝜍 par la propriété des valeurs singulières 𝜇𝑖 [𝐺𝐾(𝑗𝜔0 )] ≤ 𝜎̅[𝐺𝐾(𝑗𝜔0 )] donc 𝜎̅[𝐺𝐾(𝑗𝜔0 )] ≥ 1 𝜍 ; comme 𝜍 ∈ [0,1] cette dernière condition est contradictoire à l’hypothèse telle que ‖𝐺𝐾‖∞ < 1.