Réduction de modèle pour les guides d’ondes

Réduction de modèle pour les guides d’ondes

 Transformée de Fourier spatio-temporelle dans un guide d’ondes Un guide d’ondes est ici défini de manière assez générique comme une structure pour laquelle un motif géométrique de base est répété dans une ou plusieurs directions de l’espace, comme illustré sur la Fig. 2.1.

Il est alors possible d’analyser les champs spatiaux à travers une transformée de Fourier spatiale (qui est souvent appelée transformée de Floquet) et les évolutions temporelles par une transformée de Fourier en fréquences temporelles.

Pour bien camper les analyses possibles, la section 2.1.1 précise les transformées continues et étend l’analyse à des configurations où la géométrie est périodique, et non seulement invariante par translation, ce qui conduit à une transformée discrète en espace. La section 2.1.2 illustre le cas d’une poutre en traction compression analysée avec une mesure discrétisée en espace.

La section 2.1.3 reprend ensuite le modèle simplifié d’une voie représentée par un rail poutre connecté à des traverses discrètes sur support élastique. Enfin, l’illustration sur un modèle de voie ferrée plus détaillé est proposée dans la section 2.1.4. 32 FIGURE 2.1 : Transformée de Fourier avec répétition de motif.

Fonctions de transfert en fréquences/nombres d’onde

Pour un champ quelconque dépendant du temps et de l’espace g(x,t), la transformée de Fourier bidimensionnelle (2D-FT) est définie de la manière suivante g(xt) 2D FT G( )= g(xt)e i x i tdxdt R2 (2.1) où et sontlesnombresd’ondeetlapulsation.Inversement, l’application de la transformée de Fourier inverse 2D (2D-IFT) permet de retrouver le champ g à partir de sa 2D-FT G( ) 2D IFT g(xt)= 1 2 2 R2 G( )ei x+i td d (2.2)

Une géométrie est dite périodique si elle peut être décrite dans une direction donnée (x dans ce travail) par des tranches géométriquement identiques, de largeur x. Pour une structure périodique de longueur infinie, tout champ mécanique g peut être décrit à partir d’une série sur les tranches d’indice n et dépendante de la position x0 dans la tranche de référence, soit de la manière suivante g (ntx0) = g(x0 + n xt) avec n ] ; [.

La transformée de Fourier 2D discrète en espace (2D-DSFT) du champ g(ntx0) s’exprime alors de la manière suivante g (ntx0) 2DDSFT G( c x0) = g(ntx0)e i cn i tdt n= R (2.3) Il est utile de constater que cette formule de transformée est régulièrement appelée transformée de Floquet [Chebli et al., 2008]. La référence à Fourier est ici préférée pour bien mettre en évidence le lien entre transformée continue et discrète.

Pour expliquer le lien entre les deux, notons que la transformée de Floquet est une fonction périodique dans le domaine des nombres d’onde associée à la série de Fourier dont les coefficients sont les réponses en des points périodiquement espacés. Les réponses dans le domaine des fréquences / nombres d’ondes vont donc, dans les sections sui vantes, être interprétées comme les transformées de Fourier en temps et en espace.

Les conventions utilisées dans ce travail concernant la transformée de Fourier spatiale sont définies de la façon suivante. 33 Réduction de modèle pour les guides d’ondes — nc est la longueur d’onde ou périodicité spatiale en nombre de tranches, donc nc [1 [. La longueur d’onde physique en unité de longueur est donnée par = nc x.

— Le nombre d’onde discret c en rad/nbre de cellules est donné par c = 2 nc, donc c [0 2 ], et le nombre d’onde physique en rad/unité de longueur par = 2 . La relation entre les deux est donnée par = c x. La transformée de Floquet (Fourier discrète) inverse permet de retrouver le champ physique g à partir de sa transformée de Floquet G g(ntx0) = 1 2 x 2 0 G( c tx0)ej cnd c

Calcul de la fonction transfert 2D pour une poutre (2.4) La transformée temps-espace peut être vue comme un outil d’analyse du comportement dynamique d’une structure. Il est possible de généraliser l’idée classique de fonction de transfert des systèmes linéaires en considérant le ratio entre une réponse forcée dans le domaine fréquences/nombres d’onde et l’excitation correspondante.

Cette section mettra en évidence les liens avec les analyses classiques de dispersion des ondes. Dans le cas simple d’une poutre de section A, de masse volumique et de module élastique E, l’équation de propagation des ondes longitudinales régit le lien entre force appliquée et déplacement A 2u(xt) t2 EA 2u(xt) x2 =f(xt)

En appliquant la 2D-FT, au déplacement u(xt) et à la force f(xt) on obtient u(xt) 2D FT U( )= f(xt) 2D FT F( )= soit u(xt)e i x i tdxdt R2 R2 f(xt)e i x i tdxdt U( ) EA 2 A 2 =F( ) La fonction transfert spatio-temporelle obtenue est alors simplement donnée par U( ) F( ) = 1 A 2 +EA 2 (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) Le dénominateur de cette fonction est la relation de dispersion de la poutre, qui relie les fréquences aux nombres d’onde [Bonnet-ben Dhia and Mercier, 2013].

Physiquement, les racines du numérateur correspondent à des solutions possibles du mouvement en l’absence de sollicitation extérieure. Pour résoudre cette relation de dispersion, deux approches peuvent être envisagées : déterminer les nombres d’ondes possibles à une fréquence fixée ou bien déterminer les fréquences existantes pour un nombre d’onde donné. Plus de détails seront donnés en sections 2.2.2 et 2.2.3.