Réduction de modèle adaptative en post-flambement

Stratégie PBAMR (Post-Buckling Adaptive Model Reduction)

La réduction de modèle par projection pour la résolution du post-flambement repose, dans la littérature (voir sous-section 2.2.1.1), sur une base réduite constituée d’une troncature de la base des modes de flambement à un ordre pmf [Nagy, 1979] [Kling et al., 2006] et/ou de vecteurs issus d’une perturbation statique jusqu’à un ordre pps [Noor et al., 1981 ; Kling et al., 2006] et/ou d’une base POD construite à partir d’un échantillonnage adapté au nonlinéarités [Yvonnet et al., 2007]. Certaines des stratégies de la littérature reposent sur une adaptation a posteriori (voir sous-section 2.2.1.2) de la base réduite afin de maîtriser l’erreur d’approximation. Et ceci malgré les efforts consentis pour constituer une base réduite initiale en phase offline (calcul de pmf modes de flambement, pps dérivées d’ordres supérieurs). D’autres approches consacrent encore plus de ressources sur la phase offline, à travers l’échantillonnage adapté, afin d’obtenir une base réduite suffisamment complète pour atteindre la précision souhaitée, sans toutefois de garanties. Les ordres de troncature ou de développement asymptotique (pmf et pps), ainsi que l’échantillonnage en POD, sont des paramètres importants des stratégies de résolution existantes qu’il est difficile de maîtriser. Le coût de la phase offline en dépend fortement, sans garantie de précision en phase online en raison des non-linéarités.
C’est en réponse à cette difficulté et ce coût associé à la constitution d’une base réduite pertinente pour l’étude du post-flambement que nous proposons une stratégie qui tire profit d’une base réduite initiale minimale et une procédure adaptative efficace. L’objectif est double :
– minimiser l’investissement initial en partant du principe que de nouveaux investissements seront nécessaires en cours de calcul : phase offline simplifiée pour l’utilisateur et moins coûteuse.

Une base réduite initiale minimale

Le choix d’une base réduite initiale s’inspire des méthodes semi-analytiques présentées en Section 1.4, en particulier de l’approximation du champ de déplacement par développement asymptotique en post-flambement initial de [Koiter, 1945] et des travaux plus récents de [Bisagni et Vescovini, 2009 ; Vescovini et Bisagni, 2012].
En effet, l’équation (1.39) décrit le champ de déplacement en post-flambement comme une combinaison du champ de déplacement de la branche d’équilibre fondamentale, du mode de flambement et de termes d’ordres supérieurs. Le rôle prépondérant des deux premiers termes a été montré sur une application semi-analytique par [Vescovini et Bisagni, 2012] et est appuyé par les développements analytiques de Koiter sur l’amplitude des termes d’ordres supérieurs.
La base réduite initiale Cinit proposée est donc composée d’un mode de déplacement solution de la branche d’équilibre fondamentale q 0 /||q 0 ||, calculé par un calcul statique linéaire ou non-linéaire, et d’un seul mode de flambement q B , de plus faible charge critique, issu d’une analyse de flambement linéaire :

Une procédure d’adaptation à la volée

La procédure d’adaptation à la volée, proposée par [Kerfriden et al., 2011], est appliquée ici dans le cadre du post-flambement. L’avantage de cette méthode pour l’adaptation de base réduite en post-flambement, par rapport aux méthodes dites a posteriori (voir soussection 2.2.1.2), réside d’une part dans sa plus grande flexibilité et d’autre part dans le caractère progressif de la non-linéarité géométrique et des redistributions de contraintes qui se produisent entre chaque état d’équilibre en post-flambement. En réalisant une seule itération de complétion de la base réduite à la fois, au cours de la résolution itérative d’un incrément par la méthode de Newton-Raphson, cette procédure est à même de compléter la base réduite incrément par incrément. De plus, la faible amplitude des termes d’ordres supérieurs de l’approximation du champ de déplacement en phase initiale de post-flambement (1.39) permet de faire l’hypothèse d’un faible nombre de complétions par incrément.
Dans le cas d’un opérateur symétrique, défini positif, le calcul d’un vecteur additionnel par complétion à la volée peut se réaliser sous la forme d’un problème découplé comme expliqué en sous-section 2.2.1.2. À la résolution du système tangent réduit, s’ajoute la résolution du système tangent projeté dans le sous-espace des vecteurs manquants à la solution pour satisfaire l’annulation du résidu. Cette dernière est réalisée de manière itérative par un algorithme de type gradient conjugué [Kerfriden et al., 2011]. Or le cadre du post-flambement des structures présente quelques restrictions importantes à l’usage d’un algorithme de type gradient conjugué projeté.
Premièrement, en présence de non-linéarités géométriques, l’opérateur tangent en formulation Lagrangienne perd sa symétrie hors équilibre [Simo et Vu-Quoc, 1986]. Il faut alors recourir à une forme plus simple de la complétion à la volée, à savoir la résolution complète du système tangent (1.57), éventuellement initialisé par la résolution du système tangent réduit :

Algorithme général

Comme la plupart des méthodes de réduction de modèle par projection, l’algorithme de la stratégie PBAMR repose donc sur celui de Newton-Raphson ou une des variantes existantes (voir sous-section 1.5.2).
L’Algorithme 4 présente la version de la stratégie qui a été retenue et étudiée par la suite. Le choix d’une actualisation des opérateurs à chaque itération, ligne 5, assure une convergence plus rapide pour les applications à suivre, et permet surtout de s’affranchir de paramètres supplémentaires à ce stade du développement de la stratégie. Dans la suite, les performances de la stratégie sont donc comparées à celles d’un algorithme de NewtonRaphson complet. L’influence de la mise à jour des opérateurs sur la stratégie pourra faire l’objet d’une étude à part entière. Par ailleurs, le même critère de convergence est utilisé par la stratégie PBAMR ligne 4, cela de manière à comparer les méthodes pour un même niveau de précision. Selon le contexte et la précision attendue de la résolution par réduction de modèle adaptative, le paramètre de convergence ηNew peut cependant être ajusté par l’utilisateur.
Dans cet algorithme, la résolution du système tangent est réalisée par projection sur la base réduite, ligne 10. Si le critère de complétion, ligne 6, est vérifié, la résolution du système réduit est remplacée par la résolution du système complet ligne 7. La procédure de complétion s’achève par l’orthonormalisation de la solution par rapport à la base réduite et l’ajout du vecteur additionnel. La nouvelle base réduite ainsi constituée peut faire l’objet d’un contrôle de sa taille ligne 9. Plusieurs possibilités pour maîtriser la taille d’une base réduite ont déjà été évoquées sous-section 2.2.1.2. Ici, nous nous attendons d’une part à un faible nombre de complétions et d’autre part à ce que toutes les composantes de la base réduite conservent leur rôle dans la représentation de la solution. Pour ces raisons, toutes les composantes de la base réduite sont maintenues au cours des itérations et incréments.
Dans le cas d’un changement de mode, il peut cependant être pertinent de mettre en place ce genre de méthode.
La constitution de la base réduite initiale est réalisée en deux étapes. ligne 1, la composante de la branche fondamentale est calculée. Un calcul linéaire est possible de même qu’un incrément non-linéaire qui permet de prendre en compte d’éventuelles non-linéarités de la branche fondamentale. À partir de l’état d’équilibre obtenu, (q 0 ,Fext0 ), une analyse de flambement est réalisée ligne 2. Seuls le premier mode de flambement U B et son facteur de charge critique associé λcr sont calculés.

Implémentation et validation du code de recherche

Un code de recherche a été développé dans le cadre de ces travaux de thèse. Son implémentation est brièvement décrite pour permettre au lecteur d’en comprendre les limites. Le langage de programmation choisi est Python [Van Rossum et Drake, 2001], disposant d’un grand nombre de bibliothèques scientifiques, notamment pour le calcul numérique (Algèbre linéaire – linalg). Il permet en outre la programmation orientée objet.
Ce code repose sur un élément fini de plaque quadratique à huit nœuds. La cinématique retenue est celle des plaques épaisses de Reissner-Mindlin. La formulation lagrangienne totale est utilisée. Les calculs des matrices de raideur tangente et des efforts intérieurs sont décrits en Section 1.5. Une intégration réduite est choisie de manière à prévenir le verrouillage en cisaillement transverse. Chaque nœud possède 3 degrés de liberté en déplacement et 2 degrés de liberté en rotation. Le troisième degré de liberté de rotation autour de la normale au plan de la plaque, dit spin, n’est pas pris en compte puisque le code a été initialement conçu pour des structures planes.
La structure du code s’articule autour de quelques classes représentées en Figure 3.1. Au plus bas niveau se trouve la classe Node. Au dessus de la classe Element se trouvent la classe Substructure et la classe Structure. Cette construction proche des entités éléments-finis permet notamment d’implémenter des approches de sous-structuration ou de décomposition de domaine. En ce qui concerne la réduction de modèle, la classe Substructure possède un attribut subspace qui contient les vecteurs constituant la base réduite. Ces classes sont instanciées dans un programme principal à partir d’un fichier d’entrée définissant la géométrie, le maillage et les conditions limites, puis transmises à une fonction solveur du module Solver. La stratégie PBAMR est implémentée dans ce dernier, avec également la procédure de Newton-Raphson. À ce stade, les méthodes étudiées ne requièrent aucune partition de la structure. Le problème est donc défini par une seule instance Substructure.
La mesure de performance est réalisée par décompte des différentes opérations (incréments, itérations, assemblages, complétions de base réduite, …) et mesure des temps de calcul respectifs.

Comportement de la stratégie et étude paramétrique sur un cas simple

Cette première partie de l’étude de la stratégie s’attache à mettre en évidence la pertinence du choix du sous-espace initial et de la procédure adaptative. L’influence des paramètres de la stratégie (ηNew et k) est également vérifiée. Le cas d’étude reste celui présenté dans la section précédente Figure 3.2. Tout d’abord, avec ηNew = 1×10−3 et k = 10−3 , un suivi des coordonnées généralisées des composantes du champ de déplacement permet de mesurer l’importance de chaque vecteur de la base réduite dans la représentation de la solution. Dans la Figure 3.7 nous étudions séparément la partie plane et la partie hors-plan du champ de déplacement, au cours des itérations. Elles sont projetées respectivement dans les parties plane et hors-plan de la base réduite (orthonormalisées).