Recalage du modèle numérique de la jambe

Sensibilité de la fonction coût aux paramètres

Afin d’évaluer la sensibilité de la fonction coût aux paramètres, on utilise les paramètres précédemment identifiés [Tableau 9.2]. La fonction coût minimale est obtenue avec les paramètres [3,3 11,5 89,6 71,9]. Cependant les résultats présentés [Tableau 9.2] montrent que pour les valeurs initiales testées, la fonction coût minimisée reste inférieure à 3,4 soit environ 5 % de plus que la fonction coût minimale obtenue. Compte tenu de la variabilité des résultats obtenus pour la fonction coût, nous ne sommes pas en mesure de nous assurer que la fonction coût puisse avoir des variations significatives en dessous de la valeur de 3,4. Pour des valeurs initiales assez proches, l’ensemble des optimisations conduit à des fonctions coût inférieures à 3,4. On considère alors que la précision est satisfaisante pour des fonctions coût en deçà de cette valeur seuil. Pour faire l’étude de la sensibilité aux paramètres, on fait varier un à un les paramètres afin d’observer l’influence sur la fonction coût. L’étude des sensibilités permet alors de définir des intervalles de solution pour chacun des paramètres [Tableau 9.3], soient des intervalles pour lesquels la valeur de la fonction coût est inférieure à 3,4. Ces intervalles sont aussi présentés sur les graphiques représentant l’évolution de la fonction coût en fonction des variations des différents paramètres [Figure 9.2, Figure 9.3, Figure 9.4, Figure 9.5]. Dans le cas du paramètre cg [Figure 9.2], l’intervalle défini [Tableau 9.3] indique qu’une variation de 40 % en-deçà de la valeur identifiée et de 50 % au-delà n’entraîne qu’une variation maximale de 5 % de la fonction coût. L’identification est donc assez peu sensible au paramètre cg. Quant au paramètre cm [Figure 9.3], l’intervalle est réduit à 18 % et 12 % autour de la valeur optimale identifiée. La sensibilité est donc plus importante pour ce paramètre que pour le précédent. Pour les paramètres cg et cm, on observe la présence de deux minima locaux. Lors de l’utilisation de valeurs initiales inappropriées, la présence d’un autre minimum local peut perturber l’optimisation. On présente les écarts pixel à pixel entre les contours pour les deux minima locaux [Figure 9.6], [Figure 9.7]. On montre par ces figures que suivant le minimum local considéré, l’écart maximal entre les contours n’est pas localisé au même endroit des contours. Les mêmes observations ont été faites en considérant les minima obtenus par la variation du paramètre cm. L’amélioration du recalage d’une partie du contour entraîne la détérioration du recalage à un autre endroit. Le paramètre pour lequel l’identification

Discussion

Ordre de grandeur du module de compressibilité 

Par les optimisations réalisées, nous avons pu déterminer des intervalles de valeurs pour les paramètres des lois de comportement [Tableau 9.3]. Les valeurs obtenues pour les modules de compressibilités semblent cohérentes avec l’ordre de grandeur attendu. En effet, il est possible, de manière globale, de relier le module de compressibilité à la variation de volume (∆V) et à la variation de pression (∆P) par la relation, K = V0 ∆P ∆V . (9.1) Cette relation est valable dans le cas d’une pression uniforme et d’une évolution isotherme. Dans notre cas, on utilise la pression moyenne appliquée par la contention de 4,24 kPa (d’après le calcul EF). Nous avons vu précédemment [Tableau 5.1] que la variation d’aire pour le port de la chaussette C était de 4,51 %. On estime alors le module de compressibilité équivalent par l’[Équation (9.1)] à la valeur de 94 kPa. L’ordre de grandeur des modules de compressibilités contenus dans les intervalles identifiés est donc cohérent avec celui estimé, malgré le caractère global de l’[Équation (9.1)]. Les valeurs obtenues pour les modules de compressibilités sont aussi du même ordre de grandeur que celui observé dans la littérature. Dans [TCET05], l’auteur identifie le module de compressibilité de l’hypoderme à 72 kPa. On rappelle que la borne inférieure de l’intervalle que nous avons défini pour la compressibilité de la graisse est située à 71,3 kPa [Tableau 9.3]. L’ordre de grandeur des modules de compressibilités identifiés est satisfaisant. Il est vérifié d’une part par la littérature et d’autre part par l’estimation globale par l’[Éq. (9.1)] et le calcul des aires issues de la segmentation des images.

Analogie avec le coefficient de Poisson 

Sous l’Hypothèse des Petites Perturbations (HPP), le coefficient de Poisson est relié aux paramètres du potentiel néo-hookéen par [FT01], ν = 3K − 4c 6K + 4c (9.2) En HPP, les coefficients de Poisson équivalents aux tissus identifiés seraient de 0,46 pour la graisse et 0,36 pour le muscle. Ces coefficients de Poisson sont obtenus pour les paramètres optimaux [3,3 11,5 89,6 71,9]. Compte tenu de cette approximation, valable en HPP, la graisse est un tissu assez peu compressible, alors que le muscle est assez compressible. Le caractère compressible du muscle est en partie dû à la présence de veines à l’intérieur du domaine. Sous l’effet de la contention, celles-ci se compriment afin de faire refluer le sang vers le cœur. L’observation d’une telle compressibilité du muscle est donc en accord avec l’effet qui est attendu de la contention. 

Recalage des contours 

Il est difficile d’évaluer la qualité de l’identification seulement par la valeur numérique de la fonction coût. On représente alors graphiquement l’écart entre les contours. L’échelle de couleurs correspond à la distance minimale au carré en pixels entre les deux contours (non-déformé initial [Figure 9.1-(a)] et le contour non-déformé issu de la simulation EF). Le contour en couleur correspond au contour non-déformé expérimental (cible) et en noir le contour non-déformé calculé. Ces représentations permettent de préciser la localisation des zones où les contours ne sont pas recalés (superposés). Par exemple sur la [Figure 9.8] obtenue avec les paramètres optimaux [3,3 11,5 89,6 71,9], l’écart maximal entre les contours est de 4,47 pixels, soit un écart quadratique maximal de 20 pixels. Cet écart est obtenu sur le contour coïncidant avec le muscle tibial antérieur [Figure 1.4-(a)]. Les contours coïncidant avec les muscles gastrocnémiens [Figure 1.4-(c)] sont assez bien recalés avec des écarts inférieurs à 2 pixels. Les contours à proximité des « pointes » du muscle soléaire [Figure 1.4-(c)] présentent des difficultés à être recalés avec des écarts supérieurs à 3 pixels. Les origines de ces difficultés de recalage des contours sont probablement les simplifications apportées au modèle numérique. Nous avons d’une part restreint le nombre de paramètres en n’utilisant que des matériaux de type néo-hookéen et d’autre part nous n’avons considéré que deux matériaux distincts. Malgré la simplicité de notre modèle, nous avons pu déterminer des intervalles de valeurs pour les paramètres hyperélastiques des matériaux dont les valeurs semblent cohérentes à la fois avec la littérature et avec l’estimation faite par le calcul des aires.

Influence des intervalles sur le calcul des pressions

Dans l’identification que nous avons réalisée, nous avons défini des intervalles pour les valeurs des paramètres des lois de comportement des matériaux. Nous allons à présent évaluer l’influence de ces intervalles sur la détermination des pressions hydrostatiques dans le mollet. On génère 30 jeux de paramètres de manière aléatoire compris dans les intervalles précédemment définis [Tableau 9.3]. Pour chacun de ces jeux, on effectue le calcul EF correspondant. Ces calculs nous permettent de déterminer les pressions hydrostatiques. On s’intéresse plus particulièrement aux pressions calculées dans 5 éléments distincts.