Recalage du modèle numérique

La présentation de la méthode d’identification utilisée pour ce travail ne peut se faire sans présenter au préalable la technique de Recalage d’Images Déformables (RID). Celle-ci a de nombreuses applications dans le domaine biomédical [Sar00], car elle est particulièrement adaptée aux mesures in vivo des déformations. Ce chapitre vise à présenter deux notions fondamentales nécessaire à cette technique : le Recalage d’Images Numériques (RIN) et la Déformation d’Images Numériques (DIN). Le terme de recalage est un terme dont la signification varie selon les auteurs, il peut désigner la détermination de transformations permettant la correspondance entre deux images mais aussi l’application de ces transformations à une des images. Le RIN est le procédé qui permet de déterminer les transformations existantes entre deux images c’est-à-dire la détermination des fonctions de mise en correspondance entre les deux images [Kyb01]. Plusieurs applications du RIN sont possibles ; les transformations déterminées peuvent être appliquées directement à l’image comme dans le cas d’alignement d’images dans un repère comme réalisé dans le Chapitre 5 pour le recalage des IRM mais il peut aussi être utilisé dans le simple but de déterminer les transformations et ainsi en extraire des données sur les déformations. C’est ce deuxième aspect qui nous intéresse dans la suite de ce chapitre. Un des objectifs du travail présenté est de mettre au point un modèle numérique de jambe pouvant être utilisé notamment pour la simulation de la contention. Cependant pour la construction de ce modèle, les lois de comportement des tissus de la jambe doivent être identifiées. Pour cette identification nous avons choisi de comparer des images IRM du mollet en coupe tranverse à l’état déformé (sous l’effet de la contention) et non-déformé. Une possibilité de comparaison a été évoquée dans un chapitre précédent [Chapitre 5], en utilisant la Corrélation d’Images Numériques. Or après plusieurs essais, nous avons conclu que cette technique n’était pas adaptée au problème posé car d’une part elle dépend fortement du choix de la taille des fenêtres et d’autre part le contraste local des IRM n’est pas suffisant d’où l’idée de faire en correspondance globale avec la RID. Nous présenterons dans ce chapitre la méthode de RID en vue de l’identification.

Transformations d’image

Le Recalage d’Images Numériques (RIN) permet de mettre en correspondance deux images i.e. déterminer les fonctions de correspondance ou transformations liant les images. Dans ce chapitre nous restreignons la présentation aux transformations géométriques. Les transformations géométriques sont réparties en deux classes : les représentations globales et les représentations locales. Si ce sont les transformations locales qui vont nous être utiles, on peut néanmoins citer quelques unes des tranformations globales comme les similitudes, les transformations affines, les transformations polynômiales, etc …[Sar00]. Au vu des images qui sont à traiter dans notre cas (IRM du mollet à différents états de déformation), les transformations globales ne sont pas adaptées, car les images déformées ne le sont pas de manière homogène, ce qui justifie alors l’utilisation de transformées locales. La transformation locale la plus simple est la transformation linéaire par morceaux. Les tranformations locales se basent sur une triangulation du domaine d’étude [ZF03]. Une transformation linéaire par morceaux indique qu’il existe pour chaque triangle défini du domaine une transformation linéaire (ou affine) le reliant au même triangle dans la seconde image. Le principe des transformations est local mais soulignons que sa mise en œuvre nécessite la continuité de la transformation, ce qui lui confère une définition globale. L’application de ces transformations à une image est appelée la déformation d’images numériques, assimilée au procédé inverse du recalage. Le recalage utilise deux images pour fournir une transformation alors que la déformation d’images utilise une image et une transformation pour fournir une image déformée. Autrement dit, si on applique la transformation déterminée par le recalage à l’image initiale, elle doit être identique à la seconde image qui a été nécessaire pour le recalage. Cette dernière remarque, malgré son évidence, est à la base de la méthode implémentée par nos soins sous Matlab R , que nous exposerons un peu plus tard. À titre d’exemple, une application de cette méthode pour un problème mécanique et plus précisément biomécanique est présenté dans [VPW05]

Interpolation

Pour chaque méthode de recalage, il est nécessaire d’en définir la méthode d’interpolation car l’une des principales difficultés rencontrées lors des transformations est la ré-assignation des niveaux de gris [Ben01]. En effet, la position d’un pixel transformé n’est pas entière. Il faut donc trouver une méthode permettant d’assigner un niveau de gris à un pixel se retrouvant à une position non-entière [Figure 7.1]. Ces méthodes sont appelées les méthodes d’interpolation dont les plus fréquemment utilisés sont la méthode des plus proches voisins et les interpolations polynômiales. On trouve aussi des méthodes de splines [Dod97]. Nous nous intéressons ici à l’interpolation par les plus proches voisins et à l’interpolation bilinéaire. 7.3.1 Interpolation par les plus proches voisins Pour recaler une image, on reconstruit une image pixel après pixel à partir de l’image à recaler. Pour reconstruire l’intensité en un pixel donné de la nouvelle image, de position géométrique M, on considère le point matériel M0 du solide qui est imagé en ce pixel donné. On cherche la position géométrique du même point matériel M0 dans l’image à recaler (le point matériel n’a pas la même position car le solide imagé s’est déformé). Soit M′ cette nouvelle position géométrique. Le principe du recalage est d’assigner au pixel situé en M dans l’image recalée à reconstruire la valeur du pixel le plus proche de la position géométrique M′ dans l’image à recaler. Ainsi, pour chaque position M de l’image recalée à reconstruire, il faut connaître M′ = f(M) dans l’image à recaler, où f est la transformation géométrique. Dans notre cas, la transformation géométrique est connue ou calculée dans la lagrangienne, c’est-à-dire à l’état initial. Cela veut dire que la position géométrique M doit correspondre à la position initiale (avant déformation) du point matériel M0 du solide imagé et la position géométrique M′ doit correspondre à la position finale (après déformation) du point matériel M0 du solide imagé. Finalement, le principe du recalage consiste donc à appliquer une transformation géométrique pour ramener une image déformée dans son état non déformé. Il faut ainsi retenir que le recalage se fait dans ce sens (état déformé vers état initial) et pas dans le sens contraire [ZF03].

Interpolation bilinéaire

L’interpolation bilinéaire utilise la valeur des pixels autour du pixel déformé. Soit (x, y) les coordonnées du point à interpoler, on cherche à déterminer I(x, y) avec I(x, y) = ax + by + cxy + d [Cas79]. En s’appuyant sur la [Figure 7.2], on peut exprimer I(x, y) en fonction des autres données [Annexe B]. Ce type d’interpolation permet le lissage des contours là où l’interpolation par les plus proches voisins aura tendance à accentuer le phénomène de pixellisation. Une comparaison imagée des différents types d’interpolation est faite dans [ZF03].