Rappels sur l’élasticité des milieux continus

 Rappels sur l’élasticité des milieux continus

 Notions de cristallographie

 Il existe 7 systèmes cristallins résultant du classement des réseaux suivant leur symétrie (monoclinique, triclinique, orthorhombique, trigonal, tétragonal, hexagonal et cubique). De ces différents systèmes cristallins résultent 32 classes de symétrie ponctuelle des cristaux. Des tenseurs vont être définis en vue d’établir la loi d’élasticité linéaire (hypothèse de petites déformations) de la mécanique du solide appelée loi de Hooke, ainsi que les équations constitutives de la piézoélectricité linéaire. La première loi établit une relation de proportionnalité directe entre contrainte et déformation, tandis que la seconde établit les liens entre les grandeurs mécaniques et électriques. Ces équations font intervenir les tenseurs d’élasticité et de piézo-électricité, dont le nombre de coefficients indépendants dépend de la classe de symétrie du matériau. Le nombre de constantes de rigidité impliquées dans la loi de Hooke dépend de la classe de symétrie du matériau. Comme illustré par le Tableau A1.1, plus le nombre de symétries est important plus il existe de liens entre les différentes constantes, simplifiant ainsi l’écriture tensorielle. Il en est de même pour le nombre de constantes piézo-électriques indépendantes, comme le décrit la norme IEEE [1]. 

Tenseur des contraintes 

Considérant un cube de volume élémentaire appartenant à un solide déformable infini et un repère orthonormé 123 (,,) xxx ur uur uur , les composantes du tenseur des contraintes sont représentées sur ses différentes faces. L’équilibre établi entre le milieu extérieur et l’élément de volume considéré se traduit par des efforts exercés sur chacune des faces. Ces efforts, ramenés par unité de surface sont appelés contraintes. Chacune des composantes Tij du tenseur de contrainte T est la contrainte exercée parallèlement à l’axe i x ur sur la surface normale à l’axe j x uur (Figure A1.1). Ces neuf composantes ß ® 2 (i j , ) Î 1;3 constituent le tenseur des contraintes (de rang 2). La tension mécanique exercée sur une surface de normale n r s’écrit å , si la sommation implicite des indices répétés est utilisée (notation d’Einstein). Annexe 1 Piézo-électricité et notations 207 Le tenseur des contraintes est symétrique, T T ij = ji (les rotations ne sont pas prises en compte). Nous avons alors 6 composantes indépendantes, réparties pour moitié entre les composantes normales Tii et tangentielles Tij . Figure A1.1 : Notation des contraintes sur un volume élémentaire.

Tenseur de déformation

 Considérant un solide de forme quelconque au repos, et M et N deux points de ce solide infiniment proches l’un de l’autre. La position du point M est donnée par le vecteur OM uuuur , où O est l’origine du repère 123 (,,) xxx ur uur uur . Dès lors qu’une contrainte est appliquée au solide, le segment MN subit une élongation, mais aussi une rotation. Après déformation, le point M est déplacé en M’, repéré par le vecteur OM ‘ ‘ = + OM MM uuuur uuuur uuuur , où MM ‘ uuuur traduit le déplacement de M. Si on note également NN ‘ uuur le déplacement de N après déformation, on peut écrire : NN ‘ ‘ = + MM du uuur uuuur r avec i i u d u dx x ¶ = ¶ r r pour de petites déformations. Pour chacune des composantes, on peut aussi écrire la relation suivante : j j i i u du dx x ¶ = ¶ (A1.1) La dérivée partielle j i u x ¶ ¶ est appelée gradient des déplacements. Ce tenseur de rang 2 peut être décomposé en une partie antisymétrique notée Wij et une partie symétrique noté Sij telles que La partie antisymétrique Wij représente la rotation et la partie symétrique la déformation pure. En effet, elle est nulle pour tout mouvement d’ensemble, de translation ou de rotation. La partie symétrique Sij est le tenseur des déformations, symétrique, et de rang 2. De même que pour le tenseur des contraintes, le nombre de composantes indépendantes est réduit à 6. Les déformations sont de 2 types : les composantes diagonales (S11, S22, S33) qui décrivent un allongement dans chacune des directions des axes principaux, et les composantes non diagonales (S12, S13, S23) qui décrivent un mouvement de cisaillement. 

 Loi de Hooke

 En régime élastique, le milieu satisfait la loi de Hooke qui exprime la proportionnalité entre contrainte et déformation, d’où la formulation : Tij ijkl kl = c S (A1.3) La loi de Hooke (A1.3), établie dans le cadre des équations de la mécanique linéaire, résulte d’un développement de Taylor de l’expression de la contrainte en fonction de la déformation au premier ordre, valide pour des petites déformations. Le tenseur de rigidité élastique cijkl qui relie celui des contraintes Tij à celui des déformations Sij est de rang 4. Compte tenu des relations de symétrie des tenseurs Tij et Skl, le tenseur de rigidité élastique peut être décrit par 36 composantes indépendantes. Pour simplifier l’écriture, une notation contractée des indices est adoptée : Tableau A1.2 : Notation matricielle. Les notations tensorielles sont réduites à une notation matricielle pour cijkl qui devient cpq et vectorielle pour Tij et Skl qui deviennent Tp et Sq (Sq = Skl si k = l et Sq = 2Skl si k ¹ l). Annexe 1 Piézo-électricité et notations 209 L’écriture de la loi de Hooke se résume alors à un produit matriciel : [T] = [c S ][ ] Û [ S] =[s T][ ] (A1.4) La matrice des rigidités est symétrique par rapport à la diagonale principale, ce qui porte à 21 le nombre de composantes indépendantes. Selon la classe de symétrie, ce nombre de coefficients peut être encore réduit. Pour un solide isotrope, la matrice de rigidité est entièrement décrite par un couple de constantes : le module d’Young et le coefficient de Poisson (E, n) ou bien les coefficients de Lamé (l, m) selon l’écriture considérée (A1.4) pour la loi de Hooke [2]. A1.2 Propriétés électriques De façon similaire aux grandeurs mécaniques, le déplacement électrique Di et le champ électrique Ej sont reliés par le tenseur de permittivité eij. [D E ] =[e ][ ] (A1.5) Ce tenseur de rang 2 est symétrique, et comporte donc 6 composantes indépendantes. En prenant en compte la classe de symétrie du matériau, ce nombre de constantes peut-être réduit ; dans le cas d’un solide isotrope, une seule constante suffit.

 Equations constitutives de la piézo-électricité

En prenant le cas d’une maille cristalline piézo-électrique, l’équilibre électrostatique est observé au repos, car les positions des barycentres des charges positives et négatives coïncident. Dès lors qu’une force est appliquée sur l’une des faces de la maille, l’équilibre électrostatique est perturbé, et un dipôle électrique est induit par la non coïncidence des barycentres des charges positives et négatives. La polarisation ainsi générée est l’effet piézo-électrique direct. Réciproquement pour l’effet indirect, l’application d’un potentiel fait apparaître une contrainte interne, entraînant une déformation régie par la loi de Hooke (A1.4). Découvert en 1880 par Pierre et Jacques Curie, l’effet piézo-électrique est décrit par un système d’équations liant les grandeurs mécaniques (contraintes et déformations) et les grandeurs électriques (déplacement et champ électrique). L’analogie entre les grandeurs mécaniques et électriques (Tableau A1.3) permet de les regrouper dans une même écriture matricielle, avec les coefficients adéquats.