Rappel sur les intégrales de chemin

Concepts d’intégrale de chemin

L’étude de la mecanique quantique par l’outil fonctionnel puissant dit l’intégrale de chemin est un besoin naturel qui surgÓt en mettant en correspondance de façon très explicite sa relation ‡ la mécanique classique et on pourrait estimer, sans prétention que cette intégrale de chemin est l’une des découvertes théoriques les plus signiÖcatives dans le domaine de la physique quantique. Cette notion d’intégrale de chemin a été introduite pour la première fois dans les années 1920 par Norbert Wiener comme méthode pour résoudre des problèmes dans la théorie de la di§usion et du mouvement Brownien faisant intervenir des intégrales en dimension inÖnie mais sans relation avec le domaine quantique et ses phénomènes.[1]. Ce fut en 1942 que Richard Feynman réinventa ces intégrales de chemin suite ‡ des remarques pertinentes de Dirac mettant en relation le domaine classique et quantique et ceci a permis de représenter le propagateur de l’équation de Schrˆdinger comme une intégrale en dimension inÖnie et créa le lien avec le noyau de la chaleur fonction fondamentale en théorie de la di§usion.[6]. La formulation de la mécanique quantique basée via des intégrales de chemin bien qu’elle semble mathématiquement plus compliquée que la formulation habituelle basée sur des équations aux dérivées partielles, elle est bien adaptée aux systèmes ‡ plusieurs degrés de liberté tels que la théorie des champs ou les systèmes statistiques et o˘ un formalisme de type Schrˆdinger serait beaucoup plus complexe [2]. En e§et, il permet une transition facile et rapide de la mécanique quantique avec un petit nombre de degrés de liberté (et de particules) ‡ la théorie quantique des champs ou ‡ la physique statistique o˘ la dimension croit indéÖniment (ainsi que le nombre de particules) . En particulier, les intégrales de chemin généralisées au concept du champ conduisent ‡ une compréhension des relations profondes entre la théorie des champs quantiques et les phénomènes critiques dans les transitions de phase continues. Une intégrale de chemin est une intégrale fonctionnelle, c’est-‡-dire que, o˘ nous intégrons sur un espace de fonctions ‡ l’encontre d’une intégrale ordinaire (par exemple intégrer sur des nombres réels ou complexes). Les intégrales de chemin sont déÖnis comme des objets mathématiques qui peuvent ‘tre considérés comme des généralisations ‡ un nombre inÖni des variables paramétrés par un indice continu (chemin évoluant en temps) et partagent parfois des propriétés analytiques et algébriques que celles des intégrales habituelles. Les grandeurs physiques sont exprimées sous forme de moyennes sur tous les chemins possibles mais dans la limite semi-classique h  0, les principales contributions provenant de tous les chemins se réduisent parfois aux chemins proches des chemins classiques. Ainsi, les intégrales de chemin conduisent ‡ une compréhension intuitive et ‡ des calculs simples de quantités physiques dans la limite semi-classique.[3] Finalement, nous pouvons dire que la caractéristique la plus captivante de la technique est qu’elle fournit une approche uniÖée pour résoudre des problèmes dans di§érentes branches de la physique théorique telles que la mécanique quantique, la théorie quantique des champs, la théorie des super cordes et la statistique .

Propagateur de Feynman 

Le propagateur est un outil mathematique qui permet de calculer l’amplitude de transition d’un système physique de l’état initial (x; t0) ‡ l’etat Önal (y; t) et qui s’exprime par la relation suivante : (y; t) = Z dx K(y; t; x; t0) (x; t0): (2.1) Cette equation exprime l’évolution temporelle en la mécanique quantique de la fonction d’onde (y; t) avec (x; t0) sa valeur initial et (y; t) est solution de l’équation de Schrodinger. Il est facile d’obtenir l’expression du propagateur en terme d’une intégrale de chemin (intégrale fonctionnelle) en utilisant l’equation de Chapman-Kolmogorov ( comme exemple : une marche aléatoire ou un mouvement Brownien) qui est une généralisation de l’equation (1:1) et qui s’écrit sous la forme K(xn; tn; x0; t0) = Z N Y