Rappel sur les équations différentielles ordinaires 

Rappel sur les équations différentielles ordinaires 

Une équation différentielle d’ordre n a la forme y n (x) = F[x, y(x), y0 (x), . . . …, yn−1 (x)], (1.1) o`u y k = d k y dxk . L’équation (1.1) est une équation linéaire si F est une fonction linéaire de y(x) et de ses dérivées (la dépendance x explicite de F est toujours arbitraire). Si (1.1) est linéaire, alors la solution générale y(x) dépend de param`etres indépendants appelés constantes d’intégration ; toute solution d’une équation différentielle linéaire peut ˆetre obtenue par un choix approprié de ces constantes. Si (1.1) est une équation différentielle non linéaire, alors elle a aussi une solution générale qui contient n constantes d’intégration. Cependant, il existe parfois des solutions supplémentaires spéciales d’équation différentielle non linéaire qui ne peuvent ˆetre obtenues `a partir de la solution générale pour tout choix des constantes d’intégration. Nous omettons une discussion rigoureuse de ces propriétés fondamentales des équations différentielles mais les illustrons dans les deux exemples suivantes. 

Exemple 1.1.1. Equations séparables

les équations séparables sont les équations différentielles ´ les plus faciles `a résoudre. Une équation est séparable si elle est du premier ordre et les dépendances en x et y de F dans le facteur (1.1) sont réparées. L’équation séparable la plus générale est y 0 (x) = a(x)b(y). (1.2) L’intégration directe donne la solution générale Z y dt b(t) = Z x a(s)ds + c1, (1.3) o`u c1 est une constante d’intégration. (La notation R x a(s)ds représente la primitive de a(x) ). Les équations linaires ont une gamme plus simple et plus restreinte de que les équations non linéaires, mais elles constituent une classe importante car elles apparaissent tr`es fréquemment dans la description mathématique des phénom`enes physiques. Formellement, une équation différentielle linéaire peut s’écrire Ly(x) = f(x), (1.4) o`u L est un opérateur différentiel linéaire : L = p0(x) + p1(x) d dx + . . . … + pn−1(x) d n−1 dxn−1 + d n dxn . (1.5) Il est classique, bien que non nécessaire, de choisir le coefficient de la dérivée la plus élevée `a 1. Si f(x) = 0, l’équation différentielle (1.4) est homog`ene ; sinon, elle est non homog`ene. Exemple 1.1.2. Solution d’une équation linéaire. La solution générale de l’équation linéaire homog`ene y 00 − 1 + x x y 0 + 1 x y = 0 (1.6) est y(x) = c1(x)e x + c2(1 + x), ce qui montre la dépendance explicite des deux constantes d’intégration c1 et c2. Chaque solution de (1.6) a cette forme. Les équations non linéaires ont une structure mathématique plus riche que les équations linéaires et sont généralement plus difficiles `a résoudre sous forme fermée. Pourtant, la solution de nombreuses équations non linéaires d’apparence difficile est assez courante

Méthode de l’équilibre dominant

Pour trouver la série asymptotique pour la solution d’une équation, nous devons d’abord déterminer son comportement de premier plan. Parfois, c’est facile mais il s’agit généralement d’un probl`eme non trivial. Dans ces situation une stratégie tr`es efficace est la méthode de l’équilibre dominant. Le principe de l’équilibre dominant est assez simple. S’il y a trois termes ou plus dans une équation, deux des termes seront généralement asymptotique plus grand que les autres, c’est `a dire qu’ils domineront les autres termes. De plus, ces termes s’équilibreront, afin que nous puissions former une équation asymptotique avec seulement deux termes. De telles équations sont généralement tr`es facile `a résoudre. Définition 1.3.14. La méthode de l’équilibre dominant est utilisée pour déterminer le comportement asymptotique des solutions `a une équation différentielle ordinaire sans résoudre compl`etement l’équation. Exemple 1.3.15. Trouver le comportement de la fonction définie implicitement par x 2 + xy − y 3 = 0 quand x −→ ∞. Solution : Puisqu’il y a a trois termes non nuls, il ya trois choix pour une paire de termes. Si nous supposons y 3 est petit quand x −→ ∞, alors nous aurons x 2 ∼ −xy. 1.3. Notions d’analyse asymptotique 17 Cela conduit rapidement `a y ∼ x quand x −→ ∞. Mais alors y 3 ∼ −x 3 , qui n’est pas petit par rapport `a un terme que nous avons gardé x 2 , quand x ∼ ∞. Au lieu de cela, nous supposons x 2  xy, puis xy ∼ y 3 et y ∼ ±√ x. Mais alors xy ∼ ±x 3 2 , donc x 2 est plus grand que x −→ ∞. Cette possibilité est donc exclue. Le dernier cas `a essayer est de supposer que xy est le plus petit terme, puis x 2 ∼ y 3 , ce qui nous dit que y ∼ x 2 3 . Pour vérifier si cela est cohérent, nous devons vérifier que xy  x 2 . En effet, xy ∼ x 5 3 qui est plus petit que x 2 quand x −→ ∞. nous avons montré que y ∼ x 2 3 est cohérent mais cela ne prouve pas `a lui seul que le comportement dominant est bien x 2 3 . Afin de montrer que c’est le comportement principal correct, nous devons trouver le terme suivant dans la série, et montre qu’il est plus petit que x 2 3 . Laisser y = x 2 3 + g(x) nous donne x 2 + x(x 2 3 + g(x)) = (x 2 3 + g(x))3 x 2 + x 5 3 + xg(x) ∼ x 2 + 3g(x)x 4 3 + O(x 2 3 g(x) 2 ) L’annulation du x, et en gardant les termes d’ordre supérieur, nous obtenons x 5 3 ∼ 3g(x)x 4 3 qui simplifie en g(x) ∼ x 1 3 3 . Ceci est en effet inférieur `a x 2 3 quand x −→ ∞, nous avons donc confirmé le comportement dominant, ainsi que le terme suivant y ∼ x 2 3 + x 1 3 3 .