Rappel méthodologiques en dynamique des structures

Cours et rappel méthodologiques en dynamique des structures, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Système à un degré de liberté

La connaissance du système à un degré de liberté (ou oscillateur à 1 ddl) est fondamentale en dynamique des structures. Une bonne utilisation des propriétés de base de cet oscillateur permet souvent de simplifier le problème et de mieux comprendre les phénomènes observés expérimentalement ou sur des calculs éléments finis complexes. Les concepts principaux sont décrits dans ce chapitre.

Rappel de l’équation de la dynamique

La déformée d’une structure soumise à des efforts statiques est calculée en écrivant l’équilibre entre les efforts internes et les efforts externes :
Ku = Fextérieure
Le champ de déplacement ainsi que les efforts calculés doivent vérifier les conditions aux limites (encastrements, appuis, bords libres…).
Quand les forces varient en fonction du temps et les effets d’inertie (masse) peuvent modifier la réponse, cette équation devient
L’équation du mouvement ne peut être résolue complètement qu’en imposant des conditions initiales de type déplacement initial et vitesse initiale.
Le système amorti oscille donc à une pulsation légèrement inférieure à la pulsation du système non amorti (Fig 2.2). Si l’amortissement est positif (ce qui n’est parfois pas le cas pour des systèmes instables), l’amplitude du mouvement décroît dans le temps de façon exponentielle (en atteignant une amplitude nulle mais pour un temps infini).

Etude dans le domaine fréquentiel
Cas général

Considérons maintenant un chargement temporel mono-fréquentiel à la fréquence ω.
La solution de cette équation différentielle est la somme d’une solution particulière -appelée régime permanent ou forcé- et d’une combinaison linéaire de solutions de l’équation sans second membre – le régime transitoire-. Le régime permanent possède une fréquence égale à la fréquence d’excitation (régime forcé) alors que le régime transitoire est une oscillation à la fréquence propre du système qui dépend des conditions initiales (au début du chargement). En présence d’amortissement (positif), le régime transitoire disparaît après quelques périodes d’oscillation.

Notion de fonction de transfert

Négligeons maintenant la partie transitoire.
Il est alors très pratique de travailler en complexe : l’excitation est mise sous la forme p(t) p eiωt
0 = et on cherche des solutions du type u(t) = u(iω )eiωt . On se ramène alors à un système linéaire complexe dont le premier membre est appelé impédance ou raideur dynamique.
L’amplitude de la réponse (donnée par le module de la fonction de transfert Fig 2.3) dépend du rapport entre la pulsation d’excitation ω et la pulsation propre du système ω0. Cette amplitude est maximale lorsque 0 ω ω ≈ . Il faut noter que la pulsation de résonance varie légèrement suivant la grandeur observée (déplacement, vitesse ou accélération).
Avant la résonance (ω <ω0 ), le déphasage est proche de 0 : la réponse est quasi-statique (dans la même direction que l’excitation).
Après la résonance ( 0 ω >ω ), le déphasage devient proche de 180° : le déplacement est en opposition de phase par rapport à l’excitation.
Lors de la résonance ( 0 ω ω ≈ ), le déphasage est exactement de 90°. Lorsque l’amortissement a une valeur très faible, le passage de 0° à 180° s’effectue pour une bande de fréquences d’excitation très étroite.

Notion de spectre d’oscillateur

Le spectre d’oscillateur ou spectre de choc est un outil très utilisé pour estimer les efforts subis par une structure soumise à un séisme ou à un choc.

1. Introduction 
2. Système à un degré de liberté
2.1. Rappel de l’équation de la dynamique
2.2. Etude dans le domaine fréquentiel
2.3. Notion de spectre d’oscillateur
3. Système à n degrés de liberté 
3.1. Rappel sur les systèmes continus
3.2. Ecriture des équations
3.3. Notion de modes propres
3.4. Calcul par recombinaison modale
3.5. Algorithmes d’intégration temporelle
3.6. Calculs dans le domaine fréquentiel
3.7. Rappel méthodologiques en dynamique des structures
4. Amortissement des structures
4.1. Amortissement visqueux
4.2. Amortissement de Rayleigh
4.3. Amortissement hystérétique
4.4. Amortissement par frottement sec
4.5. Amortissement de radiation
4.6. Détermination expérimentale de l’amortissement
5. Systèmes non linéaires 
5.1. Rappel sur les chocs entre solides rigides
5.2. Chocs entre solides élastiques
5.3. Chocs entre structures non linéaires
6. Conclusions
7. Références
8. Annexes: 
8.1. Opérateurs et Procédures CAST3M utiles en dynamique
8.2. Liste des cas tests Gibiane en dynamique
8.3. Rappels sur les calculs en mode de Fourier