Rappel du calcul stochastique

Définitions Soit (Ω,F,P) est un espace de probabilité. Définition 1.1.1 On appelle processus stochastique à temps continu à valeurs dans un espace E muni d’une tribu E, une famille (Xt) t∈R+ de variables aléatoires sur un espace de probabilité (Ω,F,P) à valeurs dans (E,E). Définition 1.1.2 Une filtration (Ft) t≥0 est une famille croissante de sous-tribus de F. Définition 1.1.3 On appelle Ft-mouvement brownien un processus stochastique à valeurs réelles qui vérifie : — Pour tout t ≥ 0, Xt est Ft-mesurable, — Continuité : P-p.s. la fonction s 7→ Xs (ω) est une fonction continue, — Indépendance des accroissements : si s ≤ t, Xt−Xs est indépendant de la tribu Fs, — Stationnarité des accroissements : si s ≤ t, la loi de Xt −Xs est identique à celle de Xt−s − X0

Terminologies financières Marché complet

Le théorème suivant nous permet de définir un marché complet. Théorème 1.1.1 ([20]) Un marché est complet si, et seulement si, il existe une unique probabilité P ∗ 1 sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Les options Définition 1.1.4 Une option est un contrat transférable qui confère à son détenteur le droit, et non l’obligation d’acheter appelée Call (où de vendre appelée Put) : — un actif Xt ( mobilier, immobilier), — à un prix fixé E, — pendant une période T. On distingue deux types d’options : — Européenne : L’exercice ce fait à la date T, — Américaine : L’exercice ce fait à n’import quel moment de [0,T]. 1. Ici P ∗ équivalente à P signifie que, pour tout ω ∈ Ω, P ∗ (ω) > 0. Chapitre 1. Préliminaires 8 Fonction pay-off Définition 1.1.5 Fonction qui donne la valeur d’un produit à son échéance en fonction de la valeur de l’actif sous-jacent. Dans le cas de l’option d’achat, la fonction pay-off Ψ est définie par (voir la figure 1.1) Ψ (X) = (X −E) + = max (X −E,0). FIGURE 1.1 – La fonction pay-off pour l’option call (achat) Concernant l’option put (vente) la fonction pay-off Ψ est donnée comme suit (voir la figure 1.2) Ψ (X) = (E − X) + = max (E − X,0)

Rappel d’analyse fonctionnelle

Définition 1.2.1 Les espaces de Sobolev avec poids Hα, Vα et Wm,p,α pour α ≥ 0 s’écrivent comme suit, Hα = L 2  R,e−α|x| dx , Vα = ( f ∈ Hα| ∂f ∂x ∈ Hα ) , Wm,p,α = n f ∈ L p  R,e−α|x| dx | pour j ≤ m,f(j) ∈ L p  R,e−α|x| dxo. Noter que Hα = W0,2,α (R) et Vα = W1,2,α (R). On note (.,.)α le produit scalaire de Hα et k.kα ,|.|α les normes respectives de Vα, Hα. Définition 1.2.2 Chapitre 1. Préliminaires 10 Soit X un espace de Banach et a, b ∈ R avec a < b. Alors L 2 (a, b,X) est l’espace des fonctions mesurables u définies sur (a, b) tel que la fonction t 7→ ku(t,·)kX est à carré intégrable. Définition 1.2.3 Soit C k (Ω), 0 ≤ k ≤ ∞, l’espace vectoriel des fonctions dont les dérivées partielles d’ordre inférieur ou égal à k existent et sont continues dans Ω, alors C k 0 (Ω), 0 ≤ k ≤ ∞ le sousespace vectoriel des fonctions de C k (Ω), à support compact dans Ω (une fonction de C k 0 (Ω) s’annule donc au voisinage de ∂Ω dans Ω). L’espace des fonctions test sur Ω est C∞ 0 (Ω), que nous noterons également D(Ω). Puisque notre étude basée sur quelques inégalités algébriques connues, nous voulons en rappeler quelques-unes ci-dessous. Lemme 1.2.1 ([18]) Tout produit scalaire satisfait l’inégalité suivante (x,y) ≤ kxk kyk. Lemme 1.2.2 ([18]) Pour tout a, b ∈ R + , on a a b ≤ δa2 + b 2 4 δ , où δ est une constante positive. Le lemme 1.2.1 est connu par le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz et le lemme 1.2.2 est surnommé l’inégalité de Young.