Rappel de mécanique linéaire de la rupture

Rappel de mécanique linéaire de la rupture

Théorie de la rupture par Grith

Parmi les théories de la rupture existantes, la mécanique de la rupture est apparue avec les travaux de Grith en 1920 [Grith, 1920] quand il a formulé l’équation d’énergie pour décrire la propagation de ssure utilisant le concept de taux de restitution d’énergie G caractérisant la rupture, et dont la valeur critique est une caractéristique du matériau. Grith a proposé une théorie fondée sur la compétition entre l’énergie élastique restituée lors de l’avancée de la ssure et l’énergie dissipée sous forme de création de nouvelles surfaces. De façon générale, on appelle P l’énergie potentielle stockée dans la structure et ∂A l’incrément de surface correspondant à l’extension de la ssure. G est déni par : G = − ∂P ∂A (1.1) 11 Rappel de mécanique linéaire de la rupture Chapitre 1 : Analyse bibliographique Pour le matériau fragile − ∂P ∂A = ∂UΓ ∂A , où UΓ est l’énergie surfacique. On réécrit (1.1) comme suit : G = − ∂P ∂A = ∂UΓ ∂A = 2γs (1.2) où γs est l’énergie supercielle intrinsèque et le facteur 2 représente l’existence des deux lèvres de la ssure. Dans le même ordre d’idée, pour un milieu élastique linéaire, Irwin en 1957 [Irwin, 1957] a proposé de prendre le facteur d’intensité de contrainte KIC comme la valeur critique pour l’extension de la rupture ; l’indice I indique le mode I de rupture. Le facteur d’intensité de contrainte KIC est appelé la ténacité et il mesure la résistance d’un matériau à la rupture. Irwin a établi qu’il existe une relation entre les facteurs d’intensité de contrainte KI , KII , KIII et le taux de restitution d’énergie de Grith. Plus généralement, la formule d’Irwin s’écrit : G = k + 1 8µ (K2 I + K2 II ) + 1 2µ K2 III (1.3) et en particulier pour le mode I et le mode II on a : G = 1 E∗ (K2 I + K2 II ) (1.4) où E ∗ = E pour les contraintes planes et E ∗ = E 1 − ν 2 pour les déformations planes. E et ν sont le module de Young et le coecient de Poisson, respectivement. En particulier, pour le mode I, Gc = 1 E∗ K2 IC. 1.1.2 Intégrale J de Rice Une autre contribution notable sur la mécanique élasto-plastique de la rupture a été l’ introduction de l’intégrale de contour connue sous le nom d’intégrale J. C’est une autre expression de G qui est représentée sous forme d’une intégrale de contour. Cette expression, due à Rice [Rice, 1968], est très utile en pratique car elle permet de calculer G en restant loin du fond de ssure (voir [Bui, 1978], [Nguyen, 1980]). Le contour Γ est un contour ouvert, orienté dont les extrémités se trouvent sur les faces supérieure et inférieure de la ssure (voir gure 1.1). J = Z Γ (We(ε)δ1j − σij ∂ui ∂x1 )njdΓ (1.5) où We la densité d’énergie de déformation élastique telle que σij = ∂We ∂ǫij , u est le vecteur déplacement en un point M du contour Γ avec la normale n tournée vers l’extérieur et σ représente le champ de contraintes.

Rappel de mécanique linéaire de la rupture

Figure 1.1 : Contour d’intégrale Les solutions analytiques de Westergard [Leblond, 2000] fondées sur la théorie de l’élasticité mènent à un champ singulier (inni) de déformation et de contrainte à la pointe de ssure. Une telle contrainte innie ne peut être tolérée par aucun matériau et le matériau doit subir un comportement nonlinéaire au voisinage de la pointe de ssure. Le comportement nonlinéaire qui concerne notamment le béton est représenté dans la partie suivante.

Résistance à la ssuration du béton

Le comportement mécanique des structures dépend fortement des matériaux utilisés. Dans les années 60, une étude sur le comportement à la rupture du béton en utilisant la mécanique linéaire de la rupture a généré beaucoup d’intérêt. Mais on a observé que les résultats calculés selon cette théorie se sont avérés diérents de la réalité et que la mécanique linéaire de la rupture n’était pas adaptable pour le béton. En eet la zone du processus de rupture dans la mécanique linéaire de la rupture a toujours été considérée comme la pointe de ssure. Or, pour des matériaux comme le béton, la zone du processus de rupture n’est pas petite en comparaison de la dimension du spécimen. C’est pourquoi, on ne peut pas négliger cette zone lorsque l’on considère ces types de matériaux.

Constituants et microstructure du béton

Basés sur diérents constituants, les matériaux cimentaires peuvent être classés en trois catégories : les pâtes, les mortiers et les bétons. Une pâte est un mélange de ciment et d’eau. Un mortier est constitué de granulats ns (sable), de ciment et d’eau. Un béton est un composite constitué de ciment, de granulats ns, de gros granulats, et   d’eau. Diérents mélanges peuvent être utilisés pour améliorer les propriétés de chacun de ces matériaux cimentaires. (a) (b) Figure 1.2 : Hiérarchie des processus de rupture dans les matériaux à base de ciment : la pâte de ciment (a), le mortier (b) Les propriétés du béton sont inuencées par ses constituants chimiques et les micro, méso, et macrostructures caractérisées par le nombre et la répartition des pores et des ssures internes. Cependant, seule l’inuence des ssures internes sur les propriétés mécaniques des matériaux à base de ciment est décrite ici. Depuis la microstructure de pâte de ciment qui est à une échelle de quelques micromètres, comme le montre la gure 1.2(a), la rupture des pâtes de ciment est inuencée par les particules et des vides à cette même échelle. Les structures internes de mortier sont présentées sur la gure 1.2(b).

L’utilisation de sables

Figure 1.2 : Le béton ou des granulats entraîne des vides dans les mortiers de l’ordre du micromètre. En conséquence, les processus de rupture dans les mortiers peuvent concerner principalement l’initiation et la propagation des vides internes à l’échelle du micromètre. Pour le béton, les ssures interfaciales et zones de faiblesse d’un millimètre sont des défauts majeurs avec l’utilisation de gros granulats, comme le montre la gure 1.2(c) 1.2.2 Essais du béton en traction Ces essais sont diciles à mettre en oeuvre. C’est pour cela qu’il existe peu d’études réalisées sur ce mode de chargement. Toutefois, la réponse est en général semblable à celle donnée par la gure 1.3. Ce résultat nous permet de distinguer deux phases importantes du comportement du béton :  dans la première phase, le comportement est élastique linéaire avec une légère perte de raideur juste avant d’atteindre la contrainte maximale ft ;  dans la deuxième phase (phase adoucissante), après atteinte de la contrainte maximale, il est observé une chute presque brutale de la contrainte pouvant être supportée par l’éprouvette. Cette chute se prolonge ensuite d’une façon moins accentuée. Les cycles de charge-décharge mettent en évidence, à chaque décharge, les déformations anélastiques ainsi que la perte de raideur du matériau.