Quelques résultats généraux des algèbres de Lie graduées

Groupe libre de torsion 

Soit G un groupe. Un élément g de G est appelé élémént de torsion si son ordre est fini. Si tous les éléments de G sont des éléments de torsion, alors G est dit groupe de torsion (où périodique). Si le seul élément de torsion est l’identité, alors le groupe G est dit de torsion libre.
Si G est un groupe abélien de torsion libre, alors toute G-graduation sur G peut être obtenue à partir de la graduation de Cartan en joignant ses composantes. De pareilles graduations ont été extensivement étudiées et ont donné de nombreuses applications. Si G a un groupe de torsion non trivial, alors une G-graduation sur une algèbre de Lie simple de dimension finie est beaucoup plus abondante. Ainsi, ils éxistent des graduations résultant des automorphismes d’ordre finie.
Exemple 2.1.7. Soit A une algèbre et ϕ un automorphisme de A avec Ak est une Zm-graduation sur A. Réciproquement, toute Zm-graduation sur A donne un automorphisme ϕ de A avec ϕ m = id. Définissons ϕ(x) = ξ kx pour tout x ∈ Ak, k ∈ Zm, et ϕ se prolonge en A par linéarité.

Quelques applications de graduations sur des algèbres de Lie 

Déformations

Définition 2.2.1. Prenons une algèbre G-graduée L sur un corps K et une application σ : G × G −→ K, nous pouvons définir une nouvelle opération sur L en posant : [x, y]
σ = σ(g, h)[x, y] pour tout x ∈ Ag, y ∈ Ah. Nous allons définir L σ par l’espace vectoriel L doté de cette nouvelle opération. L’algèbre L σ est refér ?e comme une « entorse » ou une « déformation » ou une « contraction graduée » de L. Dans le cas général nous avons σ(g, h) 6= 0 pour tout g, h ∈ G, σ : G × G −→ K∗ . Ansi L peut être retrouver de L σ en appliquant σ −1.

Généralitiés sur les graduations 

Graduations générales et groupes de graduations

Soit A une algèbre non associative sur un corps K. Le concepte le plus général de graduation sur A est une décomposition de A en une somme directe de (sans zero) sous espaces telle que le produit de deux sous espaces est 0 où est contenu dans un troisième sous espace :
Definition2.1. En remplaçant G avec un sous(semi)groupe si nécessaire, nous pouvons assumer que G est généré par S.
Définition 2.3.1. Nous disons qu’une graduation Γ comme dans (5) est réalisée comme une G graduation si G est un(semi)groupe contenant S, le sous espace.  d’une G-graduation sur A, et S génére G. Remarque 2.3.1. Question (A.Elduque dans [1]) : Toute graduation sur une algèbre de Lie simple de dimension finie sur C est-elle une graduation de groupe ? Si nous assumons depuis le commencement que la graduation est une graduation de semi groupe, alors la réponse est positive. En fait nous avons le résultat suivant.

Equivalences de graduations de groupes

Prenons une graduation Γ, il éxiste en général beaucoup de groupes G tels que Γ peut être réalisé comme une G-graduation . Exemple 2.3.1. :[21] Soit L = sl2(K) × sl2(K), avec des bases standarts {ei , fi , hi} dans chaque composante (i = 1, 2). Considérons Γ .
LLs4 où Ls1 = span{h1, h2}, Ls2 = 40 span{e1, f2}, Ls3 = span{e1}, Ls4 = span{f1}. Alors Γ peut être réalis ? comme une graduation par le groupe cyclique hgi6 avec s1 = 1, s2 = g 2 , s3 = g 3 , s4 = g 4 et aussi comme une graduation par le groupe symétrique S3 avec s1 = 1, s2 = 12, s3 = 123, s4 = 132.Il y a deux relations d’équivalence naturelles sur des groupes de graduation qui apparaissent dans la littérature. Nous allons utiliser le terme « groupe
d’équivalence » pour la plus grande des deux relations. Soit Γ : A = L s∈S As et = Γ0 = L t∈T A0 t (6) deux graduations sur la même algèbre, avec de supports S et T, respectivement. Définition 2.3.2. Nous disons que Γ et Γ 0 sont équivalents s’il éxiste un automorphisme d’algèbre ϕ : A −→ A et une application bijective α : S −→ T tel que ϕ(As) = Aα(s) pour tout s ∈ S.
Ainsi les deux graduations peuvent être obtenues réciproquement par l’action de Aut(A). Le type de Γ est la séquence de nombres (n1, n2, · · ·) où n1 est le nombre de composantes ? 1-dimension, n2 est le nombre de composantes ? 2-dimension, etc· · · . Si Γ et Γ 0 sont des groupes de graduations,ie., ils existent des groupes G et H tel que Γ est réalis ? comme une G-graduation et Γ 0 est réali ? comme une H-graduation, alors on peut promouvoire éxiger que la bijection entre S et T soit la restriction d’un groupe d’isomorphisme. Définition 2.3.3. Nous disons qu’une G-graduation,A = L g∈G Ag, et une H-graduation, A = L h∈H Ah, sont des groupes déquivalences s’il existe un automorphisme d’algèbre ϕ : A −→ A et un groupe d’isomorphisme α : G −→ H tel que : ϕ(Ag) = Aα(g) pour tout g ∈ G.
On peut construire des éxemples d’une graduation qui a deux réalisations comme une G-graduation et une H-graduation ou G et H ne sont pas iso41 morphes, voir l’éxemple ci-dessus avec sl2(K) × sl2(K). Ceci montre qu’un groupe d’équivalence est ainsi une relation plus forte qu’une équivalence. Il se passe, n ?anmoins, un cas important quand les deux relations coincident. C’est quand nous consid ?rons les groupes universels de la graduation Γ et Γ 0.

L’automorphisme de groupe et le groupe diagonal de graduation 

Définition 2.3.4. :[14] Soit Γ une graduation sur une algèbre A (comme dans (5)). L’automorphisme de groupe de Γ, noté par Aut(Γ), est un sous groupe de Aut(A) constituant de tous les automorphismes qui permutent les composantes de Γ,ie,.un automorphisme ϕ est dans Aut(Γ) s’il éxiste une (unique)bijection α = α(ϕ) : S −→ S telle que ϕ(As) = Aα(s) pour tout s ∈ S. Le groupe diagonal de Γ, noté par Diag(Γ), est composé d’automorphisme ϕ tel que la restriction de ϕ ? toute composante de Γ est la multiplication par un scalaire(sans zero).
Il s’ensuit de la Proposition3.7 dans [6] que tout ϕ ∈ Aut(Γ) se pronlonge à un unique automorphisme U(ϕ) de U(Γ) tel que le diagramme suivant commute.

Graduation sur une algèbre matricielle

Graduation sur une algèbre matricielle sans involution

Nous consid ?rons des graduations par le groupe G sur l’alg ?bre matricielle R = Mn(K) sur un corps algébriquement clos K. Soir V un espace vectoriel de dimension n et soit V = Vhi ⊕ · · · ⊕ Vhs une décomposition directe ?tiquet ?e par quelques éléments h1, · · · , hs ∈ G. Cette décomposition induit une G-graduation sur R = Hom(V, V ) comme suivante : ϕ ∈ R est homog ?ne de degrée g si ϕ(Vh) ⊂ Vgh. Cette graduation est donn ?e clairement en 1 avec un choix convenable de base des matrices unit ?s [Eij ] et les n uplés (g1, · · · , gn) comme suivant : premi ?rement dimVh1 des éléments gi  gale ? h −1 1 , la seconde dimVh2 des éléments gi ?gale ? h −1 2 , etc. Les permutations de (g1, · · · , gn) nous mène à des graduations isomorphes. Définition 2.4.1. [12] Une G-graduation sur R = Mn(K) est dite « élémentaire » si elle est une décomposition d’un espace vectoriel de dimension n décrit ci-dessus.
Notons que pour n ≥ 2, la composante d’identité Re a toujours de dimension supp ?rieure ? 1.
Définition 2.4.2. [12] Une G-graduation sur R = Mn(K) est dit « fine » si dimRg ≤ 1 pour tout g ∈ G.
Exemple 2.4.1. Mn(K) = ⊕i,j heij i est fine
Il doit être noter que ces graduations sont ?ffectivement dans le sens de la Sec.3,i.e., elle n’ont pas de raffinements propres. N ?anmoins une graduations élémentaire peut être aussi fine dans cet sens (dans la classe des groupes de graduation). La graduation(4) construite en utilisant les matrices de Pauli g ?n ?ralis ?es en(3) est une éxemple de graduation fine. Notons que pour ces graduations G = Zn × Zn et dimRg = 1 pour tout g ∈ G. Il est rejet ? [18] que le support de toute graduation fine est un sous groupe H ⊂ G.
Exemple 2.4.2. Soit H = hai × hbi ∼= Zn × Zn. Alors R = Mn(K) avec la graduation(4) peut être ?crit comme ci-dessus en fixant Xaibj = Xi aX j b . Si R est repr ?senté comme le produit tensoriel C ⊗ D où C ∼= Mk(K) a la graduation élémentaire associ ?e aux (g1, · · · , gk) ∈ Gk et D á quelque G-graduation, alors la relation suivante definit une G-graduation sur R : Rg = Span(Eij ⊗ d/d ∈ Dh, g−1 i hgj = g).(11) Le r ?sultat suivant a ?t ? d’abord obtenu dans [12] pour un groupe ab ?lien G et charK = 0, et ensuite a été prolong ? dans [8,9] pour un groupe G de characteristique arbitraire.
Théorème 2.4.1. (voir [4]) Pour toute G-graduation sur R = Mn(K), il éxiste une décomposition R = C ⊗ D où C ∼= Mk(K) a une graduation ?l ?mentaire et D ∼= Ml(K) a une graduation fine telle que la G graduation sur R est donn ?e par (11). De plus le support de la graduation sur D est un sous groupe de G dont l’intersection avec le support de la graduation sur C est {e}.
En vue aux applications aux algèbres de Lie simples classiques, nous somme spécialement intéressés au cas abelien G. Alors, toute graduation fine est un produit tensoriel de graduations(4) généralisée par les matrices de Pauli, comme il est montré dans [15] pour charK = 0 et dans [19,Théoréme8] pour une charactéristique arbitraire.
Théorème 2.4.2. Soit H un groupe abèlien. Alors pour toute graduation fine sur D = Ml(K) avec un support H, il éxiste une décomposition H = H1×· · ·×Ht telle que Hi ∼= Zi ∼= Zli, i = 1, · · · , t et D ∼= Ml1(K)⊗· · ·⊗Mlt (K) comme algèbres H-graduées où chaque Mli (K) est gradué comme dans(4) pour quelque li-la racine primitive de l’unité,i = 1, · · · , t. En particulier, il n’existe aucune graduation fine si ch(K) divise l. Corollary 2.1. Si charK = p et le sous groupe torsion de G est un pgroupe,alors toute G-graduation sur Mn(K) est élémentaire.