Puissances paires du Vandermonde

Puissances paires du Vandermonde

Nous donnons une méthode d’énumération des partitions qui interviennent dans le dé veloppement des puissances paires du Vandermonde sur les fonctions de Schur. Ce procédé s’appuie sur un calcul de termes positifs dans une série de Laurent. À l’origine, P. Di Francesco avait conjecturé que ces partitions, définies initialement comme étant un intervalle du permutoèdre, caractérisaient les coefficients non nuls appa raissant lors du développement de ∆2k dans les fonctions de Schur. Cette conjecture a été invalidée par Scharf et al. [41] à partir de n = 8 et k = 1.

Nous verrons un peu plus loin qu’elle devient vraie si l’on considère certaines qdéformations du problème. Nous consacrons le deuxième chapitre au calcul hyperdéterminantal appliqué aux coeffi cients du développement de ∆2k dans la base des fonctions de Schur. Pour obtenir ce résultat, nous utilisons trois outils : la substitution • (opération linéaire qui envoie les monômes sur des produits de fonctions complètes),

le produit scalaire , usuel sur les fonctions symé triques dans sa version intégrale, et une généralisation de la formule de Heine permettant d’exprimer l’intégrale d’un produit de déterminants comme un hyperdéterminant. Dans le troisième chapitre, nous montrons que ∆2k est un polynôme de Jack rectangle, pour une certaine spécialisation du paramètre α. Ce résultat est obtenu, d’une part, en faisant le lien entre hyperdéterminants et puissances paires du Vandermonde ∆2k et d’autre part, entre hyperdéterminants et polynômes de Jack sur l’alphabet −X.

Dans le chapitre quatre, nous qdéformons les puissances paires du Vandermonde en des puissances polarisées du qdiscriminant. Lorsque nous étudions les propriétés spectrales de l’opérateur de SekiguchiDebiard Macdonald, pour une spécialisation particulière de (q,t), nous montrons que cette polari sation est aussi un polynôme de Macdonald escalier. L’utilité de cette qdéformation est double.

En faisant tendre q vers 1, nous obtenons une égalité entre ∆2k et un polynôme de Jack escalier (avec des marches de hauteur paire) dont le paramètre α a été spécialisé. De surcroît, la conjecture de Di francesco et al. devient vraie pour cette déformation, ce qui généralise un résultat de R.C. King, F. Toumazet et B.G. Wybourne, énoncé lorsque k = 1 dans l’article [29]

Les partitions admissibles 

Ce chapitre est dédié à l’étude des partitions dites admissibles introduites par P. Di Fran cesco et al. dans l’article [17]. Il s’agit des partitions qui apparaissent lors du développement des puissances paires du Vandermonde dans les fonctions de Schur. Ces auteurs ont postulé que le coefficient de Sλ du développement de ∆2K dans la base des fonctions de Schur n’était pas nul si et seulement si λ était admissible. Cette conjecture est fausse à partir de n = 8 (voir article de Scharf, Thibon et Wybourne [41]).

Par contre, il est utile de connaître ces partitions pour optimiser les développements. Dans les pages qui vont suivre, nous présentons diverses définitions équivalentes de par titions admissibles et divers algorithmes pour compter et énumérer ces partitions.

Développement des puissances paires du Vandermonde sur la base des fonctions de Schur Le polynôme de Vandermonde est un polynôme antisymétrique, c’estàdire qu’il vérifie la propriété suivante : ∆(xσ(1),…,xσ(n)) = sign(σ).∆(x1,…,xn) où σ est une permutation de taille n.

Définition des partitions admissibles

 Au paragraphe précédent, nous avons vu comment exprimer les puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous souhaitons maintenant caractériser les partitions qui apparaissent après ce développement. Le signe négatif du Vandermonde ∆ introduit de nombreuses annulations ce qui complique la détermination de ces partitions.

Un problème plus simple consiste à remplacer ce signe négatif par un signe positif. Nous obtenons ainsi la définition des partitions admissibles.  Une partition admissible est une partition λ dont le monôme xλ := xλ1 1 …xλn n apparaît avec un coefficient non nul lors du développement de i<j (xi +xj)2k+1 :