Propriétés relatives aux opérateurs linéaires nécessaires pour la suite

Les éléments de la théorie de la mesure et certaines propriétés relatives aux opérateurs linéaires nécessaires pour la suite

Soit µ une mesure positive sur X relative à un clan R, nous noterons G (resp. G’) l’ensemble des limites des suites croissantes (resp. décroissantes) d’éléments de R .On dit qu’une partie A de X est µ -négligeable si , quelque soit ε > 0 , il existe une fonction ∈Gg majorant la fonction caractéristique de A telle que de plus µ (g) ≤ ε. On dit d’une propriété dépendant de x ∈ X qu’elle est vraie µ -presque partout si elle est vraie sauf pour les points x d’une partie µ -négligeable A de X . On dit qu’une fonction à valeurs dans R est µ – négligeable si elle est définie nulle µ -presque partout sur x. L’égalité µ – presque partout est une relation d’équivalence entre fonctions définies µ – presque partout sur X et à valeurs dans R . Ce dernier ensemble de fonction sera noté ℘(X, µ ).

Spectre d’un opérateur

Cas d’un espace de dimension finie

Soit T un opérateur linéaire dans l’espace à n dimension. Un nombre λ s’appelle valeur propre de l’opérateurT , si l’équation Tx = λx admet des solutions non nulles. L’ensemble de toutes les valeurs propres de l’opérateur T est appelé spectre de l’opérateur T et désigné par σ T)( . Les valeurs de ∉σλ T)( sont dites régulières, autrement dit,λ est régulier si l’opérateur − λIT est inversible.

Dans un espace de dimension finie on a deux possibilités seulement ou : a) l’équation Tx = λx admet une solution non nulle, et λ est une valeur propre de T ; et par suite l’opérateur 1 )( − − λIT n’existe pas ; ou , 4 b) l’opérateur 1 )( − − λIT existe, est borné et défini sur l’espace tout entier, i.e λ est point régulier. L’opérateur 1 )( − λ −= λITR est appelé résolvante de l’opérateurT. SiT est un opérateur donné dans un espace de dimension infinie E il y a encore une troisième possibilité :
c) l’opérateur 1 )( − − λIT existe, i.e l’équation Tx = λx n’a pas de solution non nulle, mais cet opérateur n’est pas définie sur l’espace E tout entier.

b) l’opérateur 1 )( − − λIT existe, est borné et défini sur l’espace tout entier, i.e λ est point régulier. L’opérateur 1 )( − λ −= λITR est appelé résolvante de l’opérateurT. SiT est un opérateur donné dans un espace de dimension infinie E il y a encore une troisième possibilité : c) l’opérateur 1 )( − − λIT existe, i.e l’équation Tx = λx n’a pas de solution non nulle, mais cet opérateur n’est pas définie sur l’espace E tout entier.

Définition 

Soit E un espace normé, et T ∈ L( ) E . Un nombre complexe λ est dans l’ensemble résolvant ρ T)( de T si λ −TI est bijectif, d’inverse continu.
Dans ce cas cet inverse 1 )( − λ −TI est noté TR )( λ et appelé résolvant de T.
Le complémentaire de ρ T)( dans C est appelé spectre de T, et noté σ T)( . Au spectre d’un opérateur est lié un concept très important, celui de rayon spectrale :

Proposition 1 

a) Soit T ∈ L( ) EE ‘, . Alors, T est semi-Fredholm si, et seulement si, de toute suite bornée de E dont l’image par T est une suite convergente, on peut extraire une sous suite convergente.
b) L’ensemble des opérateurs de Fredholm (resp. semi-Fredholmiens) est ouvert dans L EE )’,( , et leur indice est constant sur chaque composante connexe de cet ensemble.
c) Soit 1 2 21 ∈ EELT et ∈ GELT ).,'()’,( si T et T sont de Fredholm, alors TT 12 est Fredholm.