Propriétés générales des fonctions de Greene

Propriétés générales des fonctions de Greene

Dans les chapitres 2 et 3, nous avons défini les graphes et présenté plusieurs opérations agissant sur ces objets : l’opération de contraction, l’opération de linéarisation partielle et les différentes opérations de suppression. Nous allons maintenant étendre la définition de Ψ (introduction 1) pour les graphes (paragraphe 4.1) et analyser ces opérations dans l’espace des fractions rationnelles. En effet, pour chacune de ces opérations, une interprétation a été énoncée au moyen de formules mettant en jeu les extensions linéaires des graphes qui sont associés aux opérations.

La fraction Ψ peut donc être appliquée à droite et à gauche de chacune des égalités analysées au chapitre 3. Nous obtenons ainsi les identités du paragraphe 4.2. Ces propriétés sont utilisées pour déterminer la nullité de ΨG (paragraphe 4.3), calculer le dénominateur de ΨG (paragraphe 4.4) et caractériser le numérateur de ΨG (paragraphe 4.5 et 4.6). 4.1 Les fonctions de Greene Soit G un graphe possédant n sommets v1,…,vn, l’objet principal de cette partie est l’étude de la fraction rationnelle ΨG définie sur les variables (xvi )i=1…n de la façon suivante : Ψ(G) = w∈L(G) 1 (xw1 −xw2 )…(xwn−1 − xwn ) .

Application des outils aux fonctions de Greene 

Par exemple, la fraction rationnelle associée au graphe de la figure 4.1 est égale à : ΨG = Ψ12345+Ψ21345 +Ψ12435 +Ψ21435 = 1 (x1 −x2)(x2 −x3)(x3 −x4)(x4 −x5) + 1 (x1 −x2)(x2 −x4)(x4 −x3)(x3 −x5) + = 1 (x2 −x1)(x1 −x3)(x3 −x4)(x4 −x5)+ 1 (x2 −x1)(x1 −x4)(x4 −x3)(x3 −x5) x4x5 +x3x5 −x2x5 −x1x5 −x3x4 +x1x2 (x1 −x3)(x1 −x4)(x2 −x3)(x2 −x4)(x4 −x5)(x3 −x5) . 1 2 3 4 5 Fig. 4.1– Exemple de graphe Nous nous intéresserons à la fraction rationnelle N(G) : N(G) := ΨG (xα(e) − xω(e)). e∈EG

Si on reprend le calcul de la figure 4.1 on obtient pour N(G) : N(G) = (x1 −x5)(x4x5 +x3x5 −x2x5 −x1x5 −x3x4 +x1x2). Nous verrons plus tard que cet objet est en fait un polynôme et que si G est le diagramme de Hasse d’un poset, Ψ(G) = N(G) (xα(e) − xω(e)) est une fraction réduite. Dans ce cas, N(G) est le numérateur de la fraction réduite Ψ(G). e∈EG 4.2 Application des outils aux fonctions de Greene Nous allons maintenant interpréter chacune des propriétés du chapitre 3 à l’aide des fractions rationnelles. D’après le théorème 3.5.1, le poinçonnage de Féray donne : Théorème 4.2.1. ΨG = (−1)|E′|−1ΨG−E′. E′⊂HE(C) E′=∅ (3)

Cette propriété centrale caractérise Ψ et permet de démontrer à elle seule l’ensemble des résultats de cette étude. Nous analyserons en détail les propriétés connexes à cette formule. Soit G un graphe de sommets V et G′ le graphe induit par V′ ⊂ V. L’opération de linéarisation partielle se traduit par :

Proposition 4.2.2. ΨG = ΨGw . w∈L(G′) L’opération de contraction possède également une interprétation dans ce cadre. Proposition 4.2.3. Soit c et d deux éléments d’un graphe G. Nous avons lim xd→xc (xc − xd).ΨG = ΨG/(c,d) si (c,d) est une arête du diagramme de Hasse de G, 0 sinon. Démonstration. En appliquant la substitution xc = xd sur ΨG, nous obtenons lim xd→xc (xc − xd)ΨG = lim xd→xcw∈L(G) (xc − xd)ψw. (4) Si cd et dc ne sont pas des facteurs de w, alors (xc −xd) n’est pas un facteur de Den(ψw) ni de Num(ψw).

On en déduit que limxd→xc (xc −xd)ψw = 0. Si cd ou dc est un facteur de w, alors (xc − xd) est aussi un facteur de Den(ψw) avec multiplicité 1. Nous obtenons donc que limxd→xc (xc − xd)ψw converge. Nous concluons que somme et limite peuvent être permutées dans l’équation (4) pour obtenir lim xd→xc (xc − xd)ΨG = lim xd→xc (xc − xd)ψw (5) où la somme décrit les extensions linéaires w de G ayant cd et dc comme facteur (quand elles sont identifiées à des mots). Il y a trois cas à considérer : 1) Il n’existe pas de chaîne d’origine c et de fin d et vice versa.

De manière évidente, le mot w′cdw′′ est une extension linéaire de G si et seulement si w′dcw′′ est aussi une extension linéaire de G. Nous en déduisons donc que ψw′cdw′′ et ψw′dcw′′ apparaissent dans la somme de l’équation (5). Nous obtenons alors lim xd→xc (xc − xd)ΨG = lim xd→xc (xc − xd)[ψw′cdw′′ + ψw′dcw′′]. w′cdw′′∈L(G) (6) En posant f(xc,xd) = (xc −xd)ψw′cdw′′, on obtient (xc − xd)ψw′dcw′′ = −f(xd,xc). Ainsi, lim xd→xc (xc − xd)[ψw′cdw′′ + ψw′dcw′′] = lim xd→xc (f(xc,xd) − f(xd,xc)) = 0.

À partir des équations (6) et (7), nous déduisons que limxc→xd (xc − xd)ΨG = 0. (7) 2) Supposons maintenant que soit (c,d) ou soit (d,c) est une arête mais qu’il existe une chaîne d’origine c et de fin d. En assumant que (c,d) est l’arête (l’autre cas est similaire), il existe au moins un élément a tel qu’il existe une chaîne de G passant par a, d’origine c et de fin d. Alors L(G) ne contient pas de mots ayant cd ou dc en facteur. Le résidu limxd→xc (xc − xd)ΨG est égal à 0