Prolongement analytique

En analyse complexe, la théorie du prolongement analytique détaille l’ensemble des propriétés et techniques concernant le prolongement des fonctions holomorphes (ou analytiques). Elle considère d’abord la question du prolongement dans le plan complexe, puis elle aborde des formes plus générales d’extension qui permettent de prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui les  accompagnent. La théorie fait alors intervenir soit le concept assez ancien et peu opérant de fonction multiforme, soit le concept plus puissant de la surface de Riemann. Etant donné une fonction analytique complexe dans un domaine D, la théorie se pose essentiellement deux questions •D’une part, quel est le plus grand domaine o`u la représentation de la fonction est valable (par exemple, si la fonction est définie par une série entière, le rayon de convergence de cette série; si la fonction est définie par une intégrale ou une équation différentielle …le domaine de validité de cette représentation). •Puis, si la représentation peut ˆetre étendue `a un domaine plus vaste, mˆeme au prix d’une extension de la représentation (notions connexes: intégrale prise au sens des parties principales de Cauchy, pseudo fonctions de Hadamard, prolongement radial, étoile de Mittag-Lefler, sommation des séries divergentes au sens de Césaro, de Borel…). Definition 10 Soit f une fonction analytique dans un domaine ouvert D0, soit D1 un autre domaine ouvert tel que D0 ∩ D1 6= φ. On dit que f admet un prolongement analytique dans D1 s’il existe une fonction g, analytique dans D1, telle que f = g dans D0 ∩ D1. D’après le théorème d’unicité, un tel prolongement est nécessairement unique. Definition 11 (Prolongement analytique le long d’une courbe γ) Soit f0 une fonction analytique dans un disque C0 centré en a, soit γ une courbe passant par a0. On dit qu’on a prolongé analytiquement f le long de γ si on a trouvé: a- Des points a1, …, an de γ et des disques C1, …, Cn centrés sur ces points et tels que ∀i; Ci ∩ Ci+1 6= φ b- Des fonctions f1, …, fn analytiques respectivement dans C1, …, Cn telles que f1 soit un prolongement de f0, …, fn un prolongement de fn−1. Un tel prolongement s’il existe, il est unique au sens suivant: Si b1, …, bP , D1…DP et g1…gP est un autre prolongement, si un point z de γ ap- 13 partient `a CK et Dq alors fK ≡ gq dans CK ∩ Dq Theorem 12 Soient U ⊂ C un ouvert, a un point de U connexe (cette hypothèse est essentielle). Alors les quatre propositions suivantes sont équivalentes: 1. f est identiquement nulle 2. f est identiquement nulle dans un voisinage de a 3. ∀n ∈ N, f(n) (a) = 0 4. f est identiquement nulle sur une suite de point présentant un point d’accumulation dans U. Ce théorème signifie que si une fonction analytique sur un ouvert connexe s’annule sur un disque de rayon si petit soit-il, alors c’est la fonction nulle.

Quelques notions de la théorie spectrale

Soit E un espace de Banach. Definition 13 Soit A un opérateur linéaire dans l’espace C 0 (espace des fonctions continues). Un nombre complexe λ s’appelle valeur propre de l’opérateur A si l’équation Ax = λx admet des solutions non nulles . (A − λ) x = 0 ; x 6= 0 Un tel vecteur x est alors appelé vecteur propre (ou une fonction propre) associé `a la valeur propre λ. Definition 14 Soit A : D (A) ⊂ E → E un opérateur linéaire borné. On appelle ensemble résolvant de A l’ensemble: ρ (A) = {λ ∈ C : l’opérateur λI − A est bijectif} Le complémentaire de ρ (A) dans C, noté par σ (A) s’appelle spectre de A. Ce dernier est composé de parties disjointes deux `a deux . 14 Definition 15 (Le spectre ponctuel) On appelle spectre ponctuel l’ensemble: σp (A) = {λ ∈ C,(λI − A) n’est pas injectif} . Cet ensemble est formé des valeurs propres de A. Definition 16 (Le spectre continu) σc (A) = n λ ∈ C : (λI − A) −1 est non borné, (λI − A) injectif et R (λI − A) = E o . Cet ensemble est constitué des valeurs propres approchées dans le sens que: pour tout ε > 0, ∃u ∈ E : kuk = 1 kAu − λuk < ε Definition 17 ( Le spectre résiduel ) L’ensemble σr (A) = n λ ∈ C : (λI − A) −1 est borné, (λI − A) injectif et R (λI − A) 6= E o est appelé le spectre résiduel . Definition 18 (Le spectre essentiel) Soient X un espace de Hilbert et T : D (T) ⊂ X → X un opérateur auto-adjoint. Le spectre essentiel noté σess (T) est le sous ensemble du spectre défini par :  λ ∈ σess (T) si et seulement si ∃ (un)n∈N ∈ D (T) telle que : kunk = 1 et kT un − λunk → 0 si un → 0 converge faiblement (La suite un est dite singulière). Definition 19 (Le spectre discret) On appelle spectre discret de A, noté σd (A) l’ensemble des valeurs propres isolées de A de multiplicité finie. Lemma 20 ( L’identité de la résolvante ). Soit X un espace de Banach et A ∈ L(X) alors on a les assertions suivantes i) ∀λ ∈ ρ (A), on définit l’opérateur résolvant Rλ (A) ∈ L(X) par Rλ (A) := (λ − A) −1 . 15 satisfaisant Rλ (A) − Rµ (A) = (µ − λ) Rλ (A) Rµ (A) ∀λ, µ ∈ ρ (A). 2i) L’ensemble résolvant ρ (A) est un ouvert dans C et l’application ρ (A) → L(X) λ 7→ Rλ (A) est continue 3i) L’application ρ (A) → L(X) : λ 7→ Rλ (A) est holomorphe.