Produit scalaire sur un R-espace vectoriel

Cours produit scalaire sur un R-espace vectoriel, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Espaces préhilbertiens réels.
Produit scalaire, norme et distance.

Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur R:

Produit scalaire sur un R-espace vectoriel.

Définition 2.1.1. Soit f une application de E E dans R: On dit que f : E E ?! R est un produit scalaire sur E est une « forme bilinéaire symétrique définie positive » c-à-d elle vérifie les propriétés suivantes:
1. l’application f est bilinéaire.
2. pour tous vecteurs u et v de E; on a f(u; v) = f(v; u) (on dit que f est symétrique).
3. pour tout vecteur u de E; on a : f(u; u) 0 (on dit que f est positive).
4. pour tout vecteur u de E; on a: f(u; u) = 0 () u = 0 (on dit que f est définie).
Définition 2.1.2.
1. Un R-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
2. Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Notations 2.1.3. Plutôt que de noter f(u; v), on note souvent < u; v >, ou u:v, ou (ujv).
Notation matricielle.
Si on note [u] la matrice-colonne associée à tout vecteur u de Rn, alors (ujv) = t[u][v]:
Proposition 2.1.5. Soit C([a; b];R) l’espace vectoriel des applications continues de [a; b] dans R avec a < b: En posant (fjg) = R b a f(t)g(t)dt; on définit un produit scalaire sur E.
Proof. Voir TD.

Norme et distance associée.

Définition 2.1.6. Soit E un espace préhilbertien réel.
1. Pour tout vecteur u de E, on appelle norme de u la quantité jjujj =p (uju).
2. Pour tous vecteurs u; v on appelle distance de u à v la quantité d(u; v) = jju ? vjj.
Les applications « norme » et « distance » sont dites associées au produit scalaire sur E:
Définition 2.1.7. Soit E un espace préhilbertien réel. Un vecteur u de E est dit unitaire (ou encore normé) si jjujj = 1.
Proposition 2.1.8. Soit E un espace préhilbertien réel. Pour tous vecteurs u; v de E, on a l’inégalite
dite « de Cauchy-Schwarz » j(u; v)j jjujjjjvjj: Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si u et v sont liés.
Proposition 2.1.10. Soit E un espace préhilbertien réel.
1. Pour tout vecteur u de E, on a l’inégalité kuk 0, et l’équivalence kuk = 0 , u = 0:
2. Pour tout vecteur u de E, et pour tout réel , on a: kuk = jjkuk.
3. Pour tous vecteurs u; v de E, on a l’inégalité triangulaire ku + vk kuk + kvk: Cette inégalité est une égalité si et seulement si u et v sont « positivement liés ».

ORTHOGONALITÉ

L’expression « positivement liés » signifie l’existence de dans R+ tel que v = u ou u = v.
pour tous vecteurs u et v de E, on a l’encadrement : jkuk ? kvkj ku vk kuk + kvk:
Si u est non nul, les vecteurs u kuk sont les seuls vecteurs unitaires de la droite Ru.
Proposition 2.1.12. Soit E un espace préhilbertien réel. On note d(u; v) la distance associée. Alors
1. Pour tous vecteurs u et v de E, on a d(u; v) = d(v; u).
2. Pour tous vecteurs u et v de E, on a l’inégalité d(u; v) 0 et l’équivalence d(u; v) = 0 , u = v.
3. Pour tous vecteurs u; v;w de E on a d(u; v) = d(u + w; v + w) (la distance est invariante par translation).
4. Pour tous vecteurs u; v;w de E, on a l’inégalité triangulaire: d(u; v) d(u;w) + d(w; v):
Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si il existe dans [0; 1] tel que w = u+(1?)v:
Remarque 2.1.13. La notion de distance est surtout utilisée dans le cadre de la géométrie affine. On parle alors de la distance d(A;B) = k ?!
ABk entre deux points A et B. Avec ces notations, d(A;B)
d(A;C) + d(C;B) (égalité si et seulement si C est sur le segment [A;B]).

Vecteurs orthogonaux.

Définition 2.2.1. Soit E un espace préhilbertien réel. Deux vecteurs u et v de E sont dits orthogonaux et noté x?y, s’ils vérifient (ujv) = 0.
Remarque 2.2.2.
La définition de l’orthogonalité est symétrique car (ujv) = (vju).
Le seul vecteur u qui est orthogonal à lui-même est le vecteur nul.
Le seul vecteur u qui est orthogonal à tous les vecteurs de E est u = 0:
Définition 2.2.3. Soit E un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une famille (ui)i2I de vecteurs de E est orthogonale si les ui sont orthogonaux deux à deux.
Si de plus ils sont unitaires, alors la famille est dite orthonormale (ou orthonormée).
La famille (ui)i2I est orthonormale , 8(i; j) 2 I2; (uijuj) = i;j :
Exemples 2.2.4.
1. La base canonique de Rn est orthonormale pour le produit scalaire canonique.
2. On se place dans C([0; 2];R) muni du produit scalaire (fjg) =R 2/0 f(t)g(t)dt:
La famille des fn : x ?! cos(nx), avec n dans N, est une famille orthogonale pour ce produit
scalaire.
Proposition 2.2.5. Soit E un espace préhilbertien réel. Si une famille (ui)i2I est orthogonale et
formée de vecteurs non nuls, alors c’est une famille libre.
En particulier, si dim(E) = n 1, une famille orthonormale de n vecteurs est une base orthonormale.
1 Formes bilinéaires symetriques. Formes quadratiques
1.1 Formes bilinéaires
1.2 Formes quadratiques
1.3 Formes positives, Formes définies positives
1.4 Décomposition en somme de carrés par la méthode de Gauss
2 Espaces préhilbertiens réels.
2.1 Produit scalaire, norme et distance
2.2 Orthogonalité
2.3 Hyperplans affines d’un espace euclidien
2.4 Isométries vectorielles d’un espace euclidien
2.5 Isométries en dimension 2
2.6 Projection orthogonale
2.7 Suites orthonormales de vecteurs d’un espace préhilbertien réel
2.8 Adjoint d’un endomorphisme
3 Espaces hermitiens.
3.1 Formes hermitiennes. Produit scalaire hermitien
3.2 Réduction de Gauss
3.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme
3.4 Matrices hermitiennes
3.5 Bases orthonormées. Orthogonalité
3.6 Endomorphisme adjoint
3.7 Groupe unitaire
3.8 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints d’un espace hermitien – Endomorphismes
normaux