Processus déterminantaux et Ensemble Gaussien Unitaire

Processus déterminantaux et Ensemble Gaussien Unitaire

Dans ce chapitre, on introduit un type de processus ponctuels déterminantaux. Bien que les propriétés de ces processus n’ont pas été exploitées directement durant cette thèse, leur  ore une vision d’ensemble permettant aux lecteurs de comprendre les liens entre les deux modèles principalement étudiés. Dans la deuxième partie de ce chapitre, on parle de l’ensemble Gaussien unitaire qui constitue le pilier d’un certain nombre de résultats obtenus durant cette thèse. Dans le cadre de notre étude, ces processus ponctuels continus (resp. discret) sont souvent assimilés à des vecteur aléatoires de R k (resp. Z k ). Ils sont issus de problèmes divers liés souvent à la physique et décrivent le comportement de k objets aléatoires (particules) se trouvant sur la droite réelle (resp. discrète) et interagissant entre eux suivant une corrélation bien dénie.
La particularité des processus étudiés ici est que, dans certain cas, ils mettent en évidence une fonction de corrélation faisant intervenir le déterminant de Vandermonde au carré, [Kön05]. De plus, Cette fonction de corrélation admet, sous des conditions bien précises, ce qu’on appelle une représentation déterminantale utilisant un noyau de polynômes orthogonaux, [Dei99]. Cette représentation facilite l’étude du comportement de l particules en sachant la position des k − l particules restantes. De plus, elle permet l’analyse asymptotique de certaines quantités (lorsque le nombre de particules tend vers l’inni).
On commence d’abord par exposer la forme générale de la fonction de corrélation des processus en question. Ensuite, on fournit quelques exemples ou cas particuliers de processus ponctuels déterminantaux. A la n ce chapitre, on parcourt les résultats connus les plus importants dans le cas particulier de l’Ensemble Gaussien Unitaire (GUE) : le modèle qui a révélé ce type de corrélation et qui a permis de faire évoluer toute une branche des mathématiques. On désigne par X = (X1, . . . , Xk) un vecteur aléatoire de R k (resp. Z k ) et on suppose que les Xi sont ordonnés i.e. X1 < X2 < · · · < Xk. La mesure de probabilité annoncée là-dessus et décrivant la loi de X est de la forme

Ensemble Gaussien Unitaire

Bien que le modèle principalement étudié dans cette thèse soit celui de la percolation de dernier passage, on commence par introduire un modèle de matrices aléatoires connu sous le nom de l’Ensemble Gaussien Unitaire (Gaussian Unitary Ensemble). Ce modèle, qui met en avant un processus déterminantal, est très intéressant tant du point de vue mathématiques que du point de vue historique. Tous les calculs eectués, notamment par Wigner, Mehta, Tracy et Widom, sur ce modèle ont été généralisés plus tard pour couvrir d’autres processus déterminantaux. Le premier système à k particules mettant en évidence une interaction répulsive du type déterminant de Vandermonde au carré (formule (1.1)), est celui du spectre d’une matrice aléatoire appartenant à l’ensemble Gaussien unitaire (GUE). Ce modèle matriciel a été introduit par Wigner [Wig55] dans les années cinquante dans l’étude des niveaux d’énergie des atomes à noyau lourd. Wigner modélisa le comportement des niveaux d’énergie par les valeurs propres d’une matrice aléatoire.
Le GUE est évoqué dans cette première partie de la thèse en tant que modèle de base ou de référence. Le Chapitre 5 sera dédié entièrement aux matrices aléatoires.

Ensemble Gaussien Unitaire 

Loi jointe et mesure spectrale

L’ensemble Gaussien unitaire n’est autre que l’ensemble des matrices Hermitiennes de taille k × k munis d’une certaine mesure de probabilité et soumis à des conditions d’invariance ou de symétrie. Plus précisément, soit Hk(C) des matrices Hermitiennes de taille k × k muni d’une mesure de probabilité de la forme.
Si on suppose que les matrices Hk sont des mineurs d’une seule matrice innie dont les entrées sont dénies sur le même espace de probabilité, alors on a la convergence presque sûre dans le théorème précédent. Wigner a démontré ce résultat pour des matrices de Wigner non-Gaussiennes, i.e. des matrices Hermitiennes avec entrées indépendantes mais pas forcément de même loi. Plusieurs preuves du théorème de Wigner existent dans la littérature. Parmi ces preuves, on cite la méthode des moments faites par Wigner lui même [Wig55, Wig58]. Voiculescu [Voi91] a étudié la limite de la mesure spectrale pour plusieurs type de matrices aléatoires en utilisant la transformée de Stieltjes et des techniques de la théorie des probabilités libres. Ici, on parlera brièvement de la méthode de la mesure d’équilibre qui nous servira également pour les résultats de grandes déviations. Pour comprendre l’idée de cette preuve, on exprime, à partir de (1.4), la densité jointe des valeurs propres normalisées sous forme d’une mesure de Gibbs.

La limite µ

∗ de la mesure spectrale n’est autre que la mesure de probabilité qui réalise l’inmum du potentiel logarithmique dans (1.6). L’existe et l’unicité de µ. ∗ relèvent de la théorie des potentiels logarithmiques [ST97]. En électrostatique, Hk(x) est l’énergie potentielle de k charges négatives placées sur la droite réelle suivant la distribution µx. Lorsque k est très grand, l’énergie potentielle est minimale à l’équilibre et la densité des charges correspond à la mesure d’équilibre recherchée. La convergence de µλˆ vers µ ∗ et la convergence de la fonction de partition vers l’énergie libre E est détaillée dans la Section 4 de [Joh98].

Grandes déviations

Avant de parler des grandes déviations du GUE, faisons quelques rappels sur le principe de grandes déviations. Soit (X , B) un espace topologique muni de la tribu Borélienne et soit (µε)ε>0 une famille de mesure de probabilité sur X .
Revenons à notre problème de matrices aléatoires. An d’alléger les notations, on remplace λˆ par λ qui désignera dans cette partie le spectre normalisé. L’étude de la convergence de la mesure spectrale µλ vers la loi du demi-cercle permet d’obtenir des formules asymptotiques de grandes déviations pour la plus grande valeur propre normalisée λk. Benarous et Guionnet  BAG97] ont prouvé que µλ converge faiblement vers µ ∗ avec une vitesse exponentielle d’ordre k 2 au sens des grandes déviations. Plus précisément, ils ont démontré que la loi de µλ satisfait un principe de grandes déviations sur M1 (R) de bonne fonction de taux.
Alors µx et maxi {xi} satisfont des principes de grandes déviations similaires à ceux des Théorèmes 1.5 et 1.6. Les bonnes fonctions de taux correspondantes sont contrôlées par les mesures d’équilibre respectivement sur M1 (R) et M1 ((−∞, 1 − ε]). Notons que les potentiels logarithmiques en question dépendent de Vk et de β et par conséquence les mesures d’équilibre ne sont pas forcement les mêmes que ceux du GUE, [ST97]. L’étude dans le cadre d’un potentiel Vk discret est faite dans [Joh00a] et dans [HP00b] pour les potentiels continus. Le lecteur pourra regarder également [Fér08] pour une étude récente du sujet.

Représentation déterminantale et uctuations

Dans cette partie, on établie une représentation déterminantale de la mesure de probabilité Qk(dx). Cette représentation est indispensable dans l’étude des uctuations d’un ensemble de polynômes orthogonaux. Bien que l’étude ci-dessous soit valable pour une multitude de mesure de probabilité de la forme Qk(dx) avec ν admettant des moments nis de tout ordre, on ne fera les calculs que dans le cadre du GUE. On suppose alors que.
Ce résultat peut se généraliser à d’autres systèmes à k-particules admettant une représentation déterminantale à l’image du Théorème 1.8. Johansson [Joh00a] a démontré un résultat similaire pour l’ensemble polynomial discret de Meixner. La clé de la preuve réside dans l’expression (1.12) qui nous fournit l’asymptotique du noyau polynomial (ici d’Hermite) comme étant le noyau d’Airy. Le calcul des asymptotiques des noyaux polynomiaux orthogonaux peut passer par la résolution de ce qu’on appelle un problème de Riemann-Hilbert, (voir [Dei99]). Remarque 1.11. Le Théorème 1.10 reste valable pour la plus grande valeur propre d’une matrice de l’Ensemble Unitaire, (voir [DG07]). Dans ce cas, la plus grande valeur propre normalisée converge vers la borne supérieure du support de la mesure spectrale limite. Cette mesure est la solution du problème de minimisation du potentiel logarithmique (1.5) en remplaçant t 2 par Q(t).

GUE et percolation dirigée

Ce paragraphe est une transition entre le Chapitre 1 et le Chapitre 2. Il constitue un lien entre le modèle du GUE et le modèle de percolation dirigée du chapitre suivant. Le modèle du GUE possède une importance particulière dans cette thèse. Mise à part le fait qu’il soit le modèle de référence en ce qui concerne la convergence vers la loi de Tracy-Widom, ce modèle est étroitement lié à la percolation dirigée dans le plan. Plusieurs résultats obtenus durant cette thèse, notamment dans le Chapitre 3, reposent essentiellement sur des propriétés de la plus grande valeur propre d’une matrice du GUE. An de préparer le lecteur aux relations entre GUE et percolation dirigée dans le plan, on énonce le théorème suivant démontré par Baryshnikov dans [Bar01].
L(N, k) est le temps de dernier passage d’une percolation dirigée Brownienne dans le plan. Il intervient également [GW91] en tant que limite en loi du temps de dernier passage du modèle de percolation planaire principalement étudié dans cette thèse. Le théorème précédent est à l’origine de plusieurs résultats obtenus dans les deux chapitres qui suivent.