PROBLEMES INVERSES APPLIQUEES AUX TRANSFERTS DE CHALEUR COMBINES RAYONNEMENT-CONDUCTION

TYPES DE PROBLEMES INVERSES EN TRANSFERTS DE CHALEUR 

PROBLEME DIRECT ET PROBLEME INVERSE 

 Le problème direct Les problèmes pratiques en ingénierie sont définis par un ou plusieurs équations différentielles ou aux dérivées partielles régissant les processus à étudier, la forme et la taille du domaine, les conditions aux limites et initiales, les propriétés du milieu ainsi que par des sources internes et des forces ou apports externes. Si toutes ces informations sont connues, le problème est de type direct et généralement considéré comme bien posé et pouvant être résolu. Les modèles mathématiques de phénomènes modélisés par des équations aux dérivées partielles peuvent être représentés sous la forme générale suivante : 𝐿(𝑢; 𝑞; 𝑝; 𝑏; 𝑥) = 0 (2.1) où 𝐿 est un ensemble d’opérateurs différentiels partiels, 𝑢 un ensemble de variables d’état, 𝑞 un ensemble de variables de contrôle, 𝑝 un ensemble de paramètres du modèle, 𝑏 un ensemble de conditions initiales et aux limites et x un ensemble de variables spatiales et/ou temporelles. Lorsque (𝑞; 𝑝; 𝑏) est donné, le problème de la  résolution des variables d’état 𝑢 de (2.1) est appelé le problème direct. La forme générale de la solution du problème direct peut être représentée par : 𝑢 = 𝑀(𝑞; 𝑝; 𝑏; 𝑥) (2.2) Diverses méthodes analytiques ont été développées pour résoudre le problème direct.  Le problème inverse Pour un modèle donné par (2.2), les valeurs observées des variables d’état, des emplacements et des instants d’observation, peuvent être exprimées par l’équation d’observation suivante : 𝑢𝑜𝑏𝑠 = 𝑀 (𝑞; 𝑝; 𝑏; 𝑥𝑜𝑏𝑠) + 𝜀 (2.3) où ε contient des erreurs d’observation et de modèle. Il est bien connu qu’un modèle utile doit être très soigneusement calibré avec toutes les observations disponibles, {𝑢𝑜𝑏𝑠}. Le problème de la calibration des modèles peut être considéré, dans un certain sens, comme le problème inverse des équations aux dérivées partielles. Le problème inverse cherche les paramètres du modèle (𝑞, 𝑝, 𝑏) lorsque les variables d’état (𝑢) sont mesurées, alors que le problème direct prédit les variables d’état (𝑢) lorsque les paramètres du modèle, (𝑞, 𝑝, 𝑏) sont fournis. Dans leur sens initial, le problème direct trouve les “résultats” de “causes”, tandis que le problème inverse trouve les “causes” sur la base des “résultats”. Dans les problèmes inverses, le concepteur spécifie la sortie souhaitée du système thermique en cours de conception ; dans la plupart des cas, il s’agit d’une répartition souhaitée de la température et du flux de chaleur sur une surface donnée. Le concepteur doit ensuite prévoir les entrées d’énergie nécessaires dans le système thermique qui produiront les distributions souhaitées sur la surface de conception. La forme mathématique de la solution inverse correspond au même ensemble d’équations intégrales que celles trouvées pour le problème direct lorsqu’une condition aux frontières est définie pour chaque domaine. Cependant, lorsque le problème inverse est formulé, certaines des équations de l’ensemble prennent la forme d’équations intégrales de Fredholm du premier type, notoirement mal conditionnées ou posées (Hansen 1998). C’est-à-dire que sa solution (les paramètres identifiés) peut être non unique et/ou dépendre de manière discontinue de données. Ceci est également dû au fait que les mêmes «résultats» peuvent être causés par différentes «causes». Les problèmes inverses peuvent également être considérés dans un cadre statistique comme un problème d’estimation de paramètres. Avec différentes hypothèses sur la distribution de probabilité des erreurs d’observation, différents critères d’estimation des paramètres peuvent être dérivés. La méthode statistique fournit non seulement les paramètres estimés, mais également la fiabilité de l’estimation. 

CLASSES DE PROBLEMES INVERSES

 Les problèmes de transfert de chaleur inverse peuvent être classés dans les catégories suivantes : problèmes de conduction inverse, convection inverse, rayonnement inverse et changement de phase inverse (fusion ou solidification), ainsi que leurs combinaisons (Özisik & Orlande, 2000). En adoptant une classification basée sur le type de caractéristiques causales à estimer, nous distinguons : – les problèmes inverses de détermination de valeurs aux frontières, – les problèmes inverses de détermination de valeurs initiales, – les problèmes inverses de détermination des propriétés des matériaux, – les problèmes inverses de détermination de sources  Problèmes inverses de détermination de la valeur aux frontières Dans ce type de problème inverse, sur une partie de la frontière du domaine, la valeur de la fonction inconnue n’est pas donnée. Par contre, dans certains points internes du domaine considéré, des résultats de mesures de température ou des valeurs prévues de température ou de flux de chaleur sont prescrits. Les valeurs mesurées ou anticipées sont appelées réponses internes. Ils peuvent être connus sur une ligne ou une surface à l’intérieur du domaine considéré ou dans un ensemble discret de points de celui-ci. Dans le cas de problèmes stationnaires, un problème inverse pour l’équation de Laplace ou de Poisson doit être résolu. Si le champ de température dépend du temps, alors la condition initiale et les mesures prises à l’intérieur du domaine constituent un point de départ.  Problèmes inverses de détermination de la valeur initiale Dans ce cas, la condition initiale n’est pas connue. Afin de trouver la distribution de température initiale, un champ de température dans l’ensemble du domaine considéré pour 𝑡 > 0 fixe doit être connu.  Problèmes inverses de détermination des propriétés des matériaux La détermination des propriétés des matériaux constitue une large classe de problèmes de conduction thermique inverse. Les coefficients peuvent dépendre des coordonnées spatiales ou de la température. Parfois, la dépendance au temps est considérée. Outre la conductivité ou la chaleur spécifique, la diffusivité thermique est celle qui est le plus fréquemment déterminée. Lorsque la conductivité thermique dépend de la température, la substitution de Kirchhoff est utile (Ciałkowski et Grysa, 2010a). Également dans le cas de la détermination des propriétés des matériaux, certaines informations supplémentaires concernant la température et / ou le flux de chaleur dans le domaine doivent être connues, généralement les mesures de température prises aux points intérieurs (Onyango et al. 2008; Hożejowski et al. 2009). Cependant, les observations expérimentales des profils de température ou de flux de chaleur peuvent ne pas être disponibles à l’emplacement physique où elles sont nécessaires. Ce problème implique également la détermination des distributions de propriétés radiatives dans un matériau. Ces propriétés doivent souvent être obtenues à partir de mesures à distance.  Problèmes inverses de détermination de source Dans le cas de la détermination de la source, on peut identifier l’intensité de la source, son emplacement ou les deux. Les problèmes sont considérés aussi bien pour le régime établi qu’en régime de conduction thermique transitoire. Dans de nombreux cas, en tant que condition supplémentaire, les données de température sont données à des points choisis du domaine, généralement sous la forme de résultats de mesures.  Problèmes inverses de détermination de forme Dans de tels problèmes, contrairement aux autres types de problèmes inverses, l’emplacement et la forme de la limite du domaine du problème considéré sont inconnus. Pour compenser ce manque d’informations, davantage d’informations sont fournies sur la partie connue de la frontière. En particulier, les conditions aux limites sont sur-spécifiées pour la partie connue, et la partie inconnue de la frontière est déterminée par l’imposition d’une ou de plusieurs conditions aux limites spécifiques. Les problèmes inverses de détermination de forme peuvent être divisés en deux classes. Le premier peut être considéré comme un problème de conception, par ex. pour trouver une telle forme d’une partie de la limite de domaine, pour laquelle la température ou le flux de chaleur atteint les valeurs souhaitées. Les problèmes deviennent alors extrêmement difficiles, en particulier dans le cas où la frontière est munie de plusieurs connexions. La deuxième classe est appelée problème de Stefan. Le problème de Stefan consiste à déterminer la répartition de la température dans un domaine et la position de l’interface mobile entre deux phases du corps lorsque la condition initiale, les conditions aux limites et les propriétés thermo physiques du corps sont connues. Le problème de Stefan inverse consiste à déterminer la condition initiale, les conditions aux limites et les propriétés thermo physiques du corps. L’absence d’une partie des données d’entrée est compensée par certaines informations supplémentaires. Parmi les problèmes inverses, les problèmes géométriques inverses sont les plus difficiles à résoudre numériquement, car leur discrétisation conduit à un système d’équations non linéaires. Quelques exemples de tels problèmes sont présentés dans (Cheng et Chang, 2003; Dennis et al. 2009; Ren, 2007). 

RAPPEL DES TYPES DE TRANSFERTS DE CHALEUR

 La diversité des opérations thermiques industrielles est considérable : traitement thermique, cuisson, séchage…Ces opérations thermiques nécessitent une source de chaleur puis le transfert de cette chaleur vers l’objet à traiter. La transmission de la chaleur peut s’effectuer par conduction, par convection, par rayonnement ou par combinaison de plusieurs modes. Le transfert de chaleur est la transition de l’énergie thermique d’un élément chauffé vers un élément plus froid. Lorsqu’un objet ou un fluide se trouve à une température différente de celle de son environnement ou d’un autre objet, un transfert d’énergie thermique, également appelé transfert de chaleur ou échange de chaleur, se produit de manière à ce que le corps et l’environnement puissent atteindre l’équilibre thermique. Le transfert de chaleur se produit toujours d’un corps chaud à un corps froid, résultat de la deuxième loi de la thermodynamique. Lorsqu’il y a une différence de température entre les objets à proximité, le transfert de chaleur entre eux ne peut jamais être arrêté ; il ne peut être que ralenti. Le transfert classique d’énergie thermique ne se produit que par conduction, convection, rayonnement ou toute combinaison de ceux-ci. Le transfert de chaleur associé au changement de phase d’une substance (telle que la vapeur) peut être traité fondamentalement comme une variante du transfert de chaleur par convection. Dans chaque cas, la force motrice du transfert de chaleur est une différence de température. La conduction est le transfert d’énergie thermique d’une région de température supérieure à une région de température inférieure via une communication moléculaire directe. La chaleur est transférée par conduction lorsque des atomes adjacents vibrent les uns contre les autres ou lorsque des électrons se déplacent d’atome en atome. Le flux de chaleur est écrit en tant que quantité ayant une direction spécifiée ainsi qu’une magnitude spécifiée. La loi de Fourier résume cette expérience physique succinctement : 𝑞 = −𝑘𝛻𝑢 (2.4) 𝑞 Densité de flux, 𝑊/𝑚2 𝑘 Conductivité thermique, 𝑊/𝑚. 𝐾 𝑢 Température en 𝐾 La «constante» 𝑘 – la conductivité thermique – dépend également de la composition et de la température dans le cas le plus général. Cependant, étant donné que la plupart des matériaux sont presque homogènes on ne retient de façon pratique que la dépendance vis-à-vis de la température et on écrit habituellement 𝑘 = 𝑘 (𝑢). La conduction est plus importante dans les solides, où les atomes sont en contact étroit constant. Les figures 2.1 et 2.2 représentent graphiquement respectivement la conductivité thermique de différents métaux et de différents gaz en fonction de la température. On remarque que la conductivité thermique peut croire, décroitre ou même être peu sensible vis-à-vis des variations de température. La faible conductivité des liquides (sauf les métaux liquides) et des gaz est dû au fait que les molécules sont généralement plus éloignées, ce qui réduit les risques de collision et de transmission d’énergie thermique. L’équation de diffusion de la chaleur en trois dimensions s’écrit comme suit : 𝜌𝑐 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝛻 · 𝑘𝛻𝑢 + 𝑞̇ = 0 (2.5) 𝑐 Capacité calorifique, 𝐽/𝑘𝑔. 𝐾 𝜌 Masse volumique, 𝑘𝑔/𝑚3 𝑞̇ Puissance volumique, 𝑊/𝑚3 𝑡 Variable temporelle, 𝑠 Les métaux sont généralement les meilleurs conducteurs de l’énergie thermique. Cela est dû à la manière dont les métaux sont liés chimiquement : les liaisons métalliques (par opposition aux liaisons covalentes ou ioniques) ont des électrons en mouvement libre et forment une structure cristalline, ce qui facilite grandement le transfert d’énergie thermique. À mesure que la densité diminue, la conduction diminue. Par conséquent, les fluides (et en particulier les gaz) sont moins conducteurs. Pour quantifier la facilité avec laquelle un milieu particulier conduit la chaleur, on utilise la conductivité thermique, également appelée constante de conductivité ou coefficient de conduction, κ.