PROBLEMES DE CONTROLE ET D’OPTIMISATION 
GEOMETRIQUE DANS LA MODELISATION DES 
SYSTEMES DE PECHERIE AVEC PRIX VARIABLE

Dynamique des populations

 La dynamique des populations s’intéresse au développement numérique de toutes les populations d’êtres vivants, et plus particuliérement de celles des animaux sexués. Les répartitions de poids, la composition par ˆage des individus, l’environnement, la biologie des groupes, et les processus qui influent sur ces changements font également partie de son champ d’étude. Ces études ont pour but, outre de prévoir les accroissements ou diminutions des populations, de comprendre les influences environnementales sur les effectifs des populations. Des études sur ces sujets sont incontournables par exemple pour la gestion de la pêche, la gestion cynégétique, le management des zones protégées, le contrˆole des populations d’animaux dits nuisibles… La dynamique des populations tente de comprendre les facteurs responsables des variations d’effectifs au sein d’une population. Les stocks de poissons commencent à s’épuiser et à ne plus pouvoir fournir la quantité de poissons exigée par l’homme. L’article [25] nous dit que nul n’ignore que les récifs artificiels ont été utilisés de tout temps dans de nombreuses régions du monde. Il est par exemple établi qu’ils étaient présents il y a environ trois mille ans en mer Méditerranée, o`u les pierres servant à lester les cages à filet utilisées pour la pêche au thon (thonaires) étaient abandonnées et, avec le temps, s’accumulaient et formaient des sites attirant les poissons(Riggio et al., 2000). Les définitions du récif artificiel différent selon les pays et les régions. Pour favoriser une interprétation commune du terme, la définition ci-après a été adoptée, et à titre de référence : “Un récif artificiel est une structure immergée, construite ou placée délibérément sur le fond marin dans le but d’imiter certaines fonctions d’un récif naturel destinées à protéger, régénérer, concentrer et/ou valoriser les peuplements de ressources marines vivantes”. Les objectifs d’un récif artificiel peuvent également être de protéger, restaurer et régénérer des habitats aquatiques, mais aussi permettre d’augmenter la biomasse, et donc la disponibilité, d’espèces de poissons commerciales, en valorisant leur survie, leur croissance et leur reproduction. Il faut pour cela accroˆıtre leur(s) habitat(s) préféré(s), notamment les frayères, les zones de nourrissage, les caches et les lieux de repos, en tenant compte des besoins aussi bien des adultes que des juvéniles. Les récifs peuvent être con¸cus pour accueillir plusieurs espèces (en comportant des niches de formes et de tailles diverses) ou ils peuvent être destinés à une espèce particulière et adaptés à l’habitat requis par l’espèce ciblée. Les récifs artificiels peuvent aussi être utilisés pour concentrer certains poissons dans un endroit particulier. Toutefois, ces récifs dits d’attraction jouent le rˆole de pièges à poissons, ce qui en facilite la prise par les pêcheurs. De tels récifs d’attraction sont couramment utilisés à des fins récréatives mais jouent également un rˆole important dans la pêche artisanale, dans la mesure o`u : 1. la connaissance des lieux de récolte contribue à la sécurité de la récolte ; 2. les lieux proches de la cˆote renforcent la sécurité des pêcheurs utilisant de petites embarcations. Les récifs artificiels sont destinés à subvenir aux besoins des communautés biologiques ou à les protéger. Il est donc important de bien cerner la biologie et l’écologie existantes du site proposé. La connaissance des activités de pêche existant dans la zone déterminera le niveau d’exploitation des ressources et donc la valeur de la mise en place d’un récif dans cette zone. Elle aidera aussi à décider du nombre de structures ou de la taille du récif. Avant d’implanter un récif de valorisation de la pêche, il importe donc de disposer de données concernant : 1. la flottille ; 2. le lieu et létat de la zone de pêche ; 3. les principales techniques de pêche utilisées ; Les structures utilisées dans ce but comprennent une variété de modèles et peuvent être construites en plusieurs matériaux différents, selon l’habitat requis. Les récifs peuvent être con¸cus pour accueillir plusieurs espèces (en comportant des niches de formes et de tailles diverses) ou ils peuvent être destinés à une espèce particulière et adaptés à l’habitat requis par l’espèce ciblée. Parmi les divers modèles possibles, figurent des structures cellulaires ou alvéolaires, des structures mixtes, à matrice ou en treillis. Figure 2.1 – Modèles de récifs artificiels destinés à fournir un habitat aux organismes marins Figure 2.2 – Modules utilisés pour la restauration de récifs coralliens, mis en place par des plongeurs (à gauche), et après environ 70 jours (à droite). Figure 2.3 – Modèles de Dispositif de Concentration des Poissons.

Systèmes dynamiques

 Nous allons essayer de définir ce qu’on appelle un système dynamique en nous reportant aux ouvrages traitant du sujet. La définition la plus simple qu’on puisse trouver est : Par système dynamique, il faut entendre tout système, quelle que soit sa nature qui évolue au cours du temps ou encore la définition suivante :  Un système dynamique consiste en un ensemble d’états possibles et d’une règle qui détermine l’état actuel du système en fonction de ses états passés . Le but principal de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement final ou asymptotique des variables du modèle lorsque le processus dynamique est décrit par une équation différentielle. Définition 2.2.1. (Cas linéaire) Une Equation Différentielle Ordinaire (EDO) scalaire est une équation mettant en jeu une fonction x(t) : I ⊂ R 7→ R ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre m > 1, F(t, x, x0 , x”, · · · , x(m) ) = 0, o`u x (m) ) représente la dérivée d’ordre m de x par rapport à t et F est une fonction suffisamment régulière de I × R m dans R. L’ordre d’une EDO est défini comme le plus grand ordre de dérivation présent dans l’équation, c’est à dire m. La variable t représente en général le temps dans des équations qui modélisent un processus d’évolution en temps. 

 Etude des systèmes dynamiques linéaires 

Une équation différentielle est une équation qui contient la dérivée d’une ou de plusieurs fonctions dépendant d’une ou de plusieurs variables indépendantes. Si l’équation ne contient que des dérivées par rapport à une seule variable indépendante, l’équation est appelée équation différentielle ordinaire (EDO). Pour un exposé complet sur les systèmes linéaires, nous renvoyons à [31]. Considérons le système linéaire x˙ = Ax(t), (2.1) avec x(t) ∈ R n et A une matrice n × n à coefficients constants. 

L’exponentielle d’une matrice 

La matrice dépendant du temps exp(tA) est définie par la série absolument convergente de terme général et de somme : exp(tA) = I + tA + t 2 2 A 2 + · · · + t k k ! A k = X∞ k=0 t kAk k ! , o`u I est la matrice identité. On appelle t 7→ exp(tA) l’exponentielle de la matrice A. Quel que soit x0 ∈ R n , l’unique solution x(t) du problème de Cauchy ˙x = Ax(t), x(0) = x0 s’exprime sous la forme x(t) = exp(tA)x0. 2.2 Systèmes dynamiques 20 2.2.1.2 Forme de Jordan et calcul de l’exponentielle Le calcul de l’exponentielle de matrice exp(tA) peut être simplifié en faisant intervenir une transformation P inversible qui diagonalise A, lorsque c’est possible, ou qui transforme A en une matrice diagonale par blocs, dite matrice de Jordan (voir par exemple [31]). Le résultat suivant précise les notations. Théoréme 2.2.1. Soit A une matrice n × n dont le polynˆome caractéristique scindé sur C s’écrit sous la forme det(λIN − A) = Y q i=1 (λ − λi) di , di étant l’ordre de multiplicité algébrique de λi. Il existe une matrice inversible P (à coefficients complexes) telle que A = P −1JP o`u J =   J1 0 · · · 0 0 J2 · · · . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · Jq   

Points d’équilibre et stabilité 

Une question importante est de connaitre le comportement des trajectoires initialement voisines de l’équilibre et pour cela on définit la notion de stabilité d’un point d’équilibre. La stabilité est un des aspects essentiels dans l’étude des systèmes dynamiques linéaires et nonlinéaires. C’est un concept qui a donné lieu à différentes terminologies qui vont être briévement rappelées afin de préciser dans quelle acception le terme stabilité est utilisé dans cette thèse. Les points fixes (points d’équilibres) jouent un rˆole capital dans l’étude des systèmes dynamiques. Henri Poincaré (1854-1912) montra que pour caractériser un système dynamique à plusieurs variables, il n’est pas nécessaire de calculer les solutions détaillées ; il suffit en effet de connaˆıtre les points fixes (points d’équilibres) et leurs stabilité. Ce résultat de grande importance simplifie considérablement l’étude des systèmes non-linéaires au voisinage de ces points. Alors pour déterminer la stabilité d’un point équilibre, il faut étudier le comportement des solutions dans un petit voisinage de celui-ci. Définition 2.2.2. Soit le système d’équations différentielles x˙ = f(x) o`u f ∈ C 1 (R d , R d ). on dit que x0 ∈ R d est un équilibre si la fonction constante x(t) = x0 est solution de x˙ = f(x). C’est à dire x˙ = f(xo) = 0. Pour tout point d’équilibre d’un système dynamique quelconque, il n’existe que trois types de stabilité : la stabilité asymptotique, la stabilité neutre, ou l’instabilité. 

Systèmes dynamiques 

Définition 2.2.3. Un point d’équilibre (x ∗ , y∗ ) d’un système dynamique x˙ = f(x) est dit neutralement stable si pour tout voisinage V de (x ∗ , y∗ ), il existe un plus petit voisinage V 0 ⊆ V de (x ∗ , y∗ ) tel que toute trajectoire traversant V 0 reste dans V lorsque t augmente. Par exemple, les centres sont neutralement stables. Définition 2.2.4. Un point d’équilibre (x ∗ , y∗ ) d’un systéme dynamique x˙ = f(x) est dit asymptotiquement stable s’il est stable et s’il existe un voisinage V de (x ∗ , y∗ ) tel que toute trajectoire traversant V converge vers (x ∗ , y∗ ) lorsque t tend vers l’infini. Par exemple, les foyers et les noeuds stables sont asymptotiquement stables. La stabilité asymptotique impose que la limite des trajectoires lorsque t −→ ∞ soit le point d’équilibre, tandis que la stabilité neutre impose seulement que les trajectoires restent dans un voisinage du point d’ équilibre sans nécessairement tendre vers celui-ci. Définition 2.2.5. Un point d’équilibre (x ∗ , y∗ ) d’un systéme dynamique x˙ = f(x) qui n’est pas stable est dit instable.

Classification topologique des points d’équilibre

 On appelle ν(p) le plus petit entier k tel que dim(Ker(A − λpI) k ) = mult(λp) o`u (mult(λp) étant la multiplicité de λp dans le polynˆome caractéristique de A) et λ est dite valeur propre de A lorsque ν(k) > 1. Théoréme 2.2.2. Soit x˙ = Ax un système linéaire o`u A appartient à R d,d ( matrice de taille d ∗ d) de valeurs propres distinctes λ1, λ2, · · · , λr. — L’origine O est un équilibre uniformément stable si et seulement si : ∀i Re(λi) ≤ 0 et il existe au moins un k tel que Re(λk) < 0 pour les valeurs propres. — L’origine O est un équilibre uniformément asymptotiquement stable si ∀i Re(λi) ≤ −σ < 0 et alors on a ∀ t ||ϕ(t, x0)|| ≤ K||x0||e −σt avec K > 0 et σ > 0. — S’il existe λ tel que Re(λ) > 0 alors l’origine O est instable. Démonstration. (voir [16, 21, 2]) Théoréme 2.2.3. (CNS de stabilité asymptotique). Soit le problème de Cauchy pour le système (2.1), x(0) = x0 o`u A est une matrice n × n et x0 ∈ R n . Ce système possède la propriété que limt→∞ x(t) = 0 quel que soit x0 (c’est à dire que le point d’équilibre 0 est globalement asymptotiquement stable) si et seulement si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative. Démonstration. Pour plus de détails voir [52] 2.2 Systèmes dynamiques 22 On va donner une illustration du théorème 2.2.2 par le cas o`u d = 2 c’est à dire on considère le système suivant : ( x˙ = a11x + a12y, y˙ = a21x + a22y avec A = a11 a12 a21 a22 ! On suppose que A est inversible de sorte que l’origine O est le seul point d’équilibre. Les valeurs propres de la matrice A sont les valeurs λ solutions de l’équation caractéristique : det(A − λI) = 0 I : matrice identité λ 2 − tr(A)λ + det(A) = 0 équation caractéristique o`u tr(A) = a11 + a22 est la trace de A, et det(A) = a11a22 − a12a21 son déterminant. Le discriminant de l’équation caractéristique est ∆ = (tr(A))2 − 4det(A). • A posséde deux valeurs propres distinctes (∆ > 0 ) : λ1 et λ2 Soient ε1 et ε2 les vecteurs propres correspondant à λ1 et λ2 : toute solution est de la forme x(t) = a1e λ1t ε1 + a2e λ2t ε2. 1. λ1 > 0 et λ2 > 0. Le point d’équilibre à l’origine O du portrait de phase est appelé un noeud ; toutes les trajectoires partant du point d’équilibre s’en éloignent, on a un noeud instable. 2. λ1 < 0 et λ2 < 0. Quelle que soit la condition initiale, les trajectoires convergent vers le point d’équilibre, on a un noeud stable. 3. Si λ1 et λ2 sont de signes opposés par exemple λ1 > 0 et λ2 < 0 alors l’origine O du portrait de phase est ici un point selle. • A posséde deux valeurs propres réelles identiques (∆ = 0 ) : λ0 (i) Dans le cas o`u A est diagonale Si λ0 > 0 on a une étoile instable et si λ0 < 0 on a une étoile stable (ii) Si A n’est pas diagonale Si λ0 > 0 l’origine est dans ce cas un noeud dégénéré instable. La droite à partir de laquelle les trajectoires changent de direction est la droite le long de laquelle les vecteurs vitesse sont verticaux et si λ0 < 0 alors l’origine est un noeud dégénéré asymptotiquement stable. • A posséde deux valeurs complexes conjuguées (∆ < 0 ) : λ1,2 = α ± iβ Dans le plan correpondant à ce cas de figure, les solutions correspondent à des spirales (sauf pour α = 0 ), qui s’éloignent ou se rapprochent de (0, 0) en fonction du signe de α, et dont le sens de rotation est donné par le signe de β.