Problèmes d’arrêt optimal

Problèmes d’arrêt optimal

L’objectif de ce Chapitre est de donner un bref résumé des résultats fondamentaux de la théorie de l’arrêt optimal ainsi qu’un aperçu de certains des travaux récents dans ce domaine. Dans un premier temps, nous introduirons le concept d’enveloppe de Snell dans un cadre séquentiel puis à temps continu. Ce concept est au centre de la théorie de l’arrêt optimal. Dans un second temps, nous présenterons le problème de la valorisation des contrats optionnels de vente de type Américain d’un actif financier.

Enfin, nous résumerons les résultats que nous avons obtenu lorsque nous considérons qu’à certaines dates connues à l’avance, l’actif financier sous-jacent verse des dividendes discrets. Le Chapitre 3 consacré au cas où le sous-jacent évolue suivant le modèle de Black-Scholes en dehors des dates de dividendes a été publié dans Stochastic Processes and their Applications ([JJ12]).

Problèmes généraux d’arrêt optimal

Un problème d’arrêt optimal est un problème d’optimisation stochastique où un joueur essaie de maximiser son espérance de gain en décidant soit de continuer à jouer, soit de s’arrêter. Le premier problème de ce genre a été énoncé par Wald [Wal47] dans le cadre d’un test séquentiel en statistiques.

Snell quant à lui a considéré le problème général d’arrêt d’un processus à temps discret [Sne52]. Il introduisit le concept d’enveloppe qui porte son nom, et ainsi caractérisa la solution en termes de martingales. Pour un traitement plus récent de ces sujets, et pour y trouver de nombreux exemples, nous nous référons à l’excellent livre de Peskir et Shiryaev [PS06]. 

Enveloppe de Snell Temps discret

Soit (Ω,F,(Fn)n≥0,P) un espace de probabilité muni d’une filtration discrète, et soit G = (Gn)n≥0 un processus adapté réel que nous supposerons borné pour des questions de simplicité dans 4 1 Problèmes d’arrêt optimal les hypothèses des résultats suivants. Nous utiliserons la notation classique a ∧ b = min(a,b) pour tous réels a,b. L’horizon du problème est le dernier temps auquel nous pouvons encore jouer. Cet horizon peut être fini ou infini. Lorsque l’horizon est infini, il s’agit de trouver un temps d’arrêt τ⋆ de la filtration (Fn)n≥0 tel que pour tout temps d’arrêt τ, E[Gτ⋆] ≥ E[Gτ]. Lorsque l’horizon est fini, disons N ≥ 0,

il s’agit de trouver un temps d’arrêt τ⋆ tel que pour tout temps d’arrêt τ, E[Gτ⋆∧N] ≥ E[Gτ∧N]. On définit alors l’enveloppe de Snell de G comme la plus petite surmartingale qui domine Gn pour tout n ≥ 0 si l’horizon est infini et seulement pour tout n entre 0 et N lorsque l’horizon du problème est N. Dans ce premier chapitre, on notera UN l’enveloppe de Snell de G pour le problème d’horizon N ≥ 0 qui se construit récursivement de la façon suivante (cf [LL08])

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