Problème inverse pour l’équation des ondes

Existence et régularité

Soit N ∈ N et soit Ω ⊂ R N un ouvert borné de frontière Γ de classe C 2 . On considère l’équation des ondes avec potentiel :    u 00(x, t) − 4u(x, t) + q(x)u(x, t) = 0, x ∈ Ω, t ∈ [0, T] u(σ, t) = 0, σ ∈ Γ, t ∈ [0, T] u(x, 0) = a(x), u0 (x, 0) = b(x), x ∈ Ω (1.1) où a ∈ H1 0 (Ω), b ∈ L 2 (Ω) Dans ce chapitre nous allons montrer l’existence, l’unicité et la régularité de la solution u de l’équation(1.1). Pour cela nous allons utiliser le théorème de Hille-Yosida-Philips. 

Rappel : Théorème de Hille-Hosida-Philips

Dénition 1. Soit H un espace de Hilbert. On appelle opérateur non borné de H la donnée d’un couple (D, A) dénie par D sousespace vectoriel de H et A : D −→ H linéaire. D est appelé domaine de A et noté D(A) Dénition 2. Soit A un opérateur non borné de H. 1) On dit que A est monotone si ∀u ∈ D(A),hAu, ui ≥ 0 2) A est dit dissipatif si ∀u ∈ D(A),hAu, ui ≤ 0 (−A est monotone) 3) A est dit maximal si ∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) telque u + Au = f 4) A est maximal-monotone si A est à la fois maximal et monotone Dénition 3. (Semi-Groupe de contraction) Soit H un espace de Hilbert. On appelle C0 semi-groupe de contraction une famille d’opérateurs linéaires continues (S(t))t≥0 dans H vériant : 4 1) kS(t)k£(H) ≤ 1 2) S(t + s) = S(t) ◦ S(s) ∀t ≥ s ≥ 0 3) S(0) = IdH 4) limt→0+ S(t)u = u ∀u ∈ H Dénition 4. (Générateur) Si (S(t))t≥0 est un semi-groupe de contraction dans H, l’opérateur non borneé (D(A), A) déni par :    u ∈ H : limh→0+ S(h)u − u h existe dans H Au = limh→0+ S(h)u − u h ∀u ∈ D(A) est appelé générateur innitésimal du semi-groupe (S(t))t≥0. Théorème 1. Soit (D(A), A) un opérateur non borné dans un espace de Hilbert H. Les propriétés suivantes sont équivalentes 1) (D(A), A) est maximal monotone. 2) (D(A), −A) est le générateur innitésimal d’un semi-groupe de contraction. Preuve (cf H.Brezis chp3) Soit (A, D(A)) le générateur innitésimal d’un C0 simi-groupe (S(t))t≥0 sur un espace de Hilbert H. On veut résoudre l’équation  y 0 (t) = Ay(t) + f(t), t ∈ [0, T] y(0) = y0 (1.2) où f : [0, T] → H Dénition 5. Soit f ∈ L 1 ([0, T]; H) et y0 ∈ H. On appelle solution faible de (1.2) la fonction y ∈ C([0, T]; H) donnée par y(t) = S(t)y0 + Z t 0 S(t − s)f(s)ds, t ∈ [0, T] (1.3) On appelle solution classique de (1.2) toute fonction y ∈ C([0, T]; H) ∩ C 1 ([0, T]; H) telle que y(t) ∈ D(A) pour tout t ∈ [0, T] et vériant (1.3) dans [0, T]. Théorème 2. Soit f ∈ L 1 ([0, T]; H) et y0 ∈ H. Le probème (1.2) admet au plus une solution classique et s’il en existe une alors elle est donnée par la formule (1.3). Démonstration. Il sut de démontrer que toute solution classique est donnée par la formule (1.3). Soit y une solution classique. Pour tout t ∈ [0, T], on considère la fonction z : [0, T] → H dénie par z(s) = −S(t − s)y(s), s ∈ [0, T]. 5 Puisque y(s) ∈ D(A), la fonction τ 7→ S(τ )y(s) est dérivable pour tout τ > 0 . Par conséquent, z est dérivable sur [0, T] et on a z 0 (s) = −S(t − s)Ay(s) + S(t − s)y 0 (s) = −S(t − s)Ay(s) + S(t − s)Ay(s) + S(t − s)f(s) = S(t − s)f(s) Comme f ∈ L 1 ([0, T]; H), on en déduit que z 0 ∈ L 1 ([0, T]; H) et en intégrant entre 0 et t, on obtient z(t) = z(0) + Z t 0 S(t − s)f(s)ds c’est-à-dire y(t) = S(t)y0 + Z t 0 S(t − s)f(s)ds d’où le résultat. On peut alors se demander : à quelles conditions sur f et y0 obtient-on une solution classique de (1.2) ? C’est l’objet du théorème suivant Théorème 3. (Hille-Yosida-Philips) Si f ∈ C 1 ([0, T]; H) alors pour tout y0 ∈ D(A), le problème (1.2) admet une solution classique. Démonstration. La solution faible s’écrit y(t) = S(t)y0 + Z t 0 S(ts)f(s)ds, t ∈ [0, T] On sait que la fonction t 7→ S(t)y0 est dans C 1 ([0, T]; H) dès que y0 ∈ D(A). Posons z(t) = Z t 0 S(t − s)f(s)ds, t ∈ [0, T] Comme f ∈ C 1 ([0, T]; H), il est clair que z ∈ C 1 ([0, T]; H) et que sa dérivée est donnée par z 0 (t) = S(t)f(0) + Z t 0 S(t − s)f 0 (s)ds, t ∈ [0, T] (puisse que Z t 0 S(t − s)f(s)ds = Z t 0 S(s)f(t − s)ds) Si on ne demande pas à la solution y de vérier classiquement (en tout t) l’équation (1.2), on peut introduire une solution intermédiaire entre solution classique et solution faible. 6 Dénition 6. Une fonction y ∈ W1,1 ([0, T]; H) est solution forte de (1.2) si elle vérie y(0) = y0 et l’équation presque partout dans [0, T]. Lanalogue du théorème 3 est alors Théorème 4. Si f ∈ W1,1 ([0, T]; H) alors pour y0 ∈ D(A), le problème (1.1) admet une solution forte.