Problème de Riemann 

Problème de Riemann 

Le problème de Riemann s’écrit: j dtU + dxF(u) = 0 (P.R) [Ug si x < 0 u(x,O) = d u six> 0 x Sa solution est autosimilaire, c’est une fonction de ç= – : u(x, t) = u(Ç). t A)- Solution du problème de Riemann: détermination des courbes d’ondes (3.28) Soit u g un état donné. On cherche les états ud à droite de u g qu’on peut lier par un choc, une détente ou une discontinuité de contact. a)- Construction de la solution Si ug < u d alors la solution du problème de Riemann est construite comme suit : soit p;x la convexifiée de F+X sur [ug , ud] où X est la fonction caractéristique de l’intervalle [ug,ud ]. La fonction X est donnée par : x(u) = 0 = +00 p;x = sup{ h convexe / h:::; F + X} (pour sa construction voir ci-après). La fonction p;x n’est autre que l’enveloppe convexe de la fonction F. La fonction d = (p;x)’ est donc croissante sur [ug , ud].On pose: d(u(~)) = ~ (3.29a) Si ug > i, on procède comme ci dessus en cherchant l’enveloppe concave p;v de F. la fonction d = (p;v)’ est croissante sur [ud, ug ]. On pose: d(u(~)) = ~ (3.29b) La solution ainsi construite est la solution du problème de Riemann. Chapitre TIl : Modèle à un constituant 69 b) Courbes d’ondes Si ug et u d sont dans Il ou dans 12 (la concavité de F est constante) alors ils sont liés par une onde simple et si ug et u d n’appartiennent pas tous les deux au même intervalle. Dans ce cas, la courbe d’onde est composée alors d’un choc et d’une détente. Désignons par UC (noté u Cx si on cherche px ou uCv si on cherche PV) l’état tel que la tangente à la courbe de F en uC passe par (ug,F(ug » c.à.d (voir figure 5.2): (3.31) Déterminer uC revient à résoudre l’équation non linéaire suivante: (3.32) c) Algorithme Tous les cas possibles des courbes d’ondes sont présentés par l’algorithme suivant: i) si u g = 0.5 alors ug et ud sont liés par une détente quel que soit u d E [0,1]. ii) si ug et u d sont dans Il (resp.lz) alors ug et ud sont liés par une détente (resp. choc) si ug > u d (resp. ug < ud) et par un choc (resp. une détente) si ug < ud (resp. ug > ud). iii) si u g < 0.5 < u d < uCx (resp. uCv < ud < 0.5 < u g ) alors u g et u d sont reliés par un choc. iv) si ug < 0.5 < uCx < ud (resp. ud < uCv < 0.5 < u g ) alors ug et u d sont reliés par un choc entre u g et uCx (resp. entre ug et uCV) suivi d’une détente entre uCx et ud (resp. entre uCv et Ud). Le tableau qui suit résume l’algorithme précédent : —–une détente (ug , ud ) —un choc (ug,ud ) —–un choc et une détente (ug,ucx,ud ) -CUd>O.5 —–une détente (ug,ud ) ug–t— u g =O.5 ud u d (resp. ug < u d ). La figure 3.3 nous montre dans le plan (x, t) la forme de la solution du problème de Riemann ainsi que le sens de propagation du front réactionnel. La détente contient l’état de vitesse nulle si u ml ou u m2 (solution de F'(u) = 0) appartiennent à (ug , u d ). En faisant des coupes à des temps donnés, on peut voir sur la figure (3.6) le profil de la solution du problème de Riemann dans le cas où ud = 0.9. Figure 3.3 : Détente entre ug et ud Cas d’un choc et d’une une détente état de vitesse nulle (F'(u) = 0) x Si ug et u d n’appartiennent pas au même intervalle Il ou Iz alors la solution du problème de Riemann est composée d’un choc entre ug et UC (UC vérifiant (3.32» et d’une détente entre UC et u d • En effet (3.32) peut se réécrire: Chercher UC tel que: (3.33) Chapitre III : Modèle à un constituant 71 Cela veut dire que la vitesse de l’état UC est égale à la pente de la droite joignant les états ug et u C • Et puisque la fonction isotherme change de concavité, alors la vitesse du choc entre ug et UC peut être négative, positive (ou nulle). Deux cas se présentent suivant la position de UC = u Cx par rapport à u m2 si ug E Il et u d E 12 et de u C = u Cv par rapport à u ml si u d E Il et ug E h Ces deux cas sont illustrés dans le plan (x,t) par les figures (3.4) et (3.5). La solution du problème de Riemann, correspondant à ces cas, est présentée par les figures (3.7), (3.8) et (3.9).

Cas 1) vitesse du choc négative

U CX < u m2 (resp. UCV > uml ) Figure 3.4 Cas 2) vitesse du choc positive Figure 3.5 U CX > u m2 état de vitesse nulle (F'(u) = 0) (resp. UCV < uml) x x 72 Chapitre TIl : Modèle à un constituant 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 4549 53 57 61 distance 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 distance Figure 3.6: Cas d’une détente. }a) = condition initiale (ug = 0.5 et ud = 0.9). L’état um2 de vitesse nulle est contenue dans [ug u ]. Le front réactionnel se propage dans tout le domaine. 1.00 0.90 0.80 0.70 1: ]0.60 ~ gO.50 :;:1 ~OAO  » 0.30 0.20 0.10 0.00 Chapitre III : Modèle à un constituant 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 distance 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0040 0.30 0.20 0.10 0.00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 distance 73 Figure 3.7 : Cas d’un choc et d’une détente. (a) = condition initiale. La vitesse du choc est négative et la vitesse de l’état à droite est positive et par suite le front réactionnel se propage dans tout dans le domaine. 74 0.90 0.80 0.70 j 0.60 e ~ 0.50 ,g ~ 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.90 0.80 0.70 1::0.60 ‘Ol « S ElO.50 § ~0.40 !i: 0.30 0.20 0.10 0.00 0.90 0.80 0.70 j 0.60 e El 0.50 § ~ 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 Chapitre TIl : Modèle à un constituant (a) 1 5 9 13 1721 25 29 33 37 41 45 49 53 5761 distance 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 (b) 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 distance Figure 3.8: Cas d’un choc et d’une détente. (a) = condition initiale Même situation que la figure (3.7). Chapitre III : Modèle à un constituant 1.00 0.90 0.80 QI 0.70 ~ 0.60 e = 0.50 co tl 0.40 ~ 0.30 0.20 0.10 0.00 m:::t=i±m~qq:f++m 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 distance Figure 3.9: Cas d’un choc et d’une détente. – = condition initiale, —- = profil de la solution après IOO.LH La vitesse du choc est positive. Le front réactionnel se déplace dans le même sens que le fluide. Données des simulations numériques Les données de simulation numérique sont: Isotherme – Paramètre de la solution solide – Constantes d’équilibre chimique Volume molaire – pour les grenats – pour les pyroxènes Nombre de sites où l’échange s’effectue – pour les grenats – pour les pyroxènes a=3. K= 1 (ou 4) L = 4 (ou 1) Vo = 125 cm 3 Vo = 66 cm 3 n=3 n=1 75 Les données sur les paramètres hydrogéologiques ne figurent pas ci dessus parce qu’on les a utilisées pour changer l’échelle de temps.