Probabilités conditionnelles et indépendance d’événements

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Probabilités conditionnelles

On tire deux cartes successivement et sans remise d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que ce soient deux piques?
La réponse « intuitive » est la suivante : il y a 8 chances sur 32 de tirer un pique pour la première carte, puis 7 chances sur 31 pour la deuxième (puisqu’il reste 31 cartes dont 7 piques), donc la probabilité demandée est égale à 8 32 × 7 31. La notion de probabilité conditionnelle permet de formuler rigoureusement une telle réponse. Définition (Probabilité conditionnelle). Soient E et F deux événements. On note P(E|F) (ce qui se lit « probabilité de E sachant F ») la probabilité que l’événement E se réalise sachant que l’événement F est réalisé.
Autrement dit, à partir d’une expérience probabiliste où E et F sont aléatoires, on change de situation : on suppose que F n’est plus aléatoire mais réalisé, et on cherche à calculer la probabilité de E dans cette nouvelle situation. Sur un schéma ensembliste (gure 2.1), ce changement de situation probabiliste consiste à considérer l’ensemble F comme le nouvel univers, à la place de Ω, et donc à ne plus considérer ce qui est en dehors de F. Autrement dit, la probabilité d’un événement E sera obtenue en ne retenant que la probabilité de sa partie contenue dans le nouvel univers, c’est-à-dire l’intersection E ∩F, et en divisant par P(F), an que dans la nouvelle situation, la probabilité de l’univers F soit égale à 1.

Formule de Bayes

Revenons au problème des deux urnes, et cherchons à répondre à cette deuxième question :
Si la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche aussi?
Ici on demande de calculer P(B1|B2). Cette probabilité conditionnelle ne peut pas être trouvée directement comme c’est le cas pour P(B2|B1). En eet ici on cherche la probabilité d’un événement en conditionnant par rapport à un événement qui en découle.

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