Prise en compte des incertitudes des problèmes en vibro-acoustiques (ou interaction fluide-structure)

Prise en compte des incertitudes des problèmes en vibro-acoustiques (ou interaction fluide-structure)

Probabilité de défaillance

La abilité R (en anglais, reliability) d’une structure est par convention dénie de la façon suivante: R = 1 − Pf (1.44) Avec la probabilité de défaillance Pf (en anglais, probability of failure) correspond à la probabilité d’occurrence de l’événement G(X) ≤ 0 et elle peut être écrite sous la forme: Pf = prob(G(X) ≤ 0) (1.45) Khalil DAMMAK 21 Chapitre 1: Quantication des incertitudes et abilité des problèmes vibro-acoustiques Cette probabilité n’est que l’intégration de la densité conjointe de probabilité sur le domaine de défaillance. Pf = Z Df fX(x) Y k i=1 dxi (1.46) Le calcul de cette intégrale est une tâche dicile vu que la densité conjointe est rarement connue, en plus la fonction de performance est généralement implicite résultant d’un modèle numérique comme par exemple la méthode des éléments nis. Dans la littérature, diverses méthodes de résolution ont été développées an de pallier ces dicultés. On distingue deux catégories: les méthodes basées sur des simulations et celles recourant à l’approximation de l’indice de abilité. 1.4.2.1 Méthodes de simulations Ces méthodes sont basées sur le calcul de la fonction de performance pour un échantillon représentatif. Elles sont les plus coûteuses en temps du calcul, mais restent la référence sur le résultat en probabilité de défaillance. De multiples travaux sont toutefois réalisés sur ces méthodes, car elles sont robustes. – Les simulations Monte Carlo sont largement utilisées pour estimer la abilité dans le domaine du génie civil et en calcul de structures. Le principe de cette technique est décrit dans la section 1.2.2.2.1. La probabilité de défaillance n’est que le nombre de simulations défaillantes sur le nombre total de simulation (voir gure 1.7). Figure 1.7: Simulations de Monte Carlo pour la probabilité de défaillance Khalil DAMMAK 22 Chapitre 1: Quantication des incertitudes et abilité des problèmes vibro-acoustiques Plus le nombre de tirages aléatoires, N, est grand plus l’estimation de la probabilité de défaillance est meilleure. – On peut améliorer cette méthode de simulation de Monte Carlo en adoptant une technique qui consiste à réduire le nombre de simulations par leurs concentrations dans les zones les plus informatives: c’est la méthode des simulations d’importance. Ainsi on peut considérer que les tirages situés autour du point de conception ou le point de défaillance le plus probable P ∗ (gure 1.8). Figure 1.8: Simulations d’importance pour la probabilité de défaillance 1.4.2.2 Méthodes d’approximation FORM/SORM Tout d’abord, il faut introduire la notion d’indice de abilité qui est la base de calcul des méthodes d’approximation. Plusieurs auteurs ont proposé des indices de abilité. Les plus connus dans la littérature sont ceux de Rjanitzyne-Cornell (βc) et de Hasofer-Lind (βhl). L’indice de Rjanitzyne-Cornell (βc) est déni comme le rapport entre la moyenne et l’écart type de la fonction de performance. βc = µG σG (1.47) Hasofer et Lind ont proposé d’eectuer le calcul de βhl dans l’espace des variables aléatoires normales centrées réduites et statistiquement indépendantes donc le vecteur des variables aléatoires Xi de l’espace physique doit être changé à l’aide d’une transformation iso-probabiliste [40] en un vecteur aléatoire U dans l’espace normal standard comme indique la gure 1.9. Selon la dénition de Hasofer et Lind, l’indice de abilité βhl n’est que la distance minimale de l’origine de l’espace normé à la fonction d’état limite H(u) = 0. La probabilité de défaillance peut Khalil DAMMAK 23 Chapitre 1: Quantication des incertitudes et abilité des problèmes vibro-acoustiques Figure 1.9: Transformation iso-probabiliste de l’espace physique vers l’espace normal standard alors s’écrire sous la forme: Pf = Z H(u)≤0 Φm(u)du (1.48) Avec Φm est la fonction de densité de la loi multi-normale centrée réduite. En outre, la détermination du point de conception appelé aussi le point de défaillance le plus probable, (MPFP: Most Probable Failure Point) revient à résoudre le problème d’optimisation suivant: min u d(u) = qXu 2 i s.t. H(x,u) ≤ 0 (1.49) – Méthode FORM (First Order Reliability Method) [41] Elle consiste à remplacer la surface d’état limite par un hyperplan tangent au point MPFP P ∗ . A l’aide de cette approximation, il est possible de donner une équation exprimant la probabilité de défaillance en fonction de l’indice de abilité β = βhl: Pf = Φ(−β) (1.50) – Méthode SORM (Second Order Reliability Method) [42] Cette approximation permet une meilleure précision sur la probabilité de défaillance. En fait, elle consiste à remplacer l’hyperplan par une hyper-surface quadratique tangente et ayant les mêmes courbures que la surface réelle au point de conception P ∗ . Ainsi, la fonction d’état limite est approchée au point MPFP par un développement de Taylor à Khalil DAMMAK 24 Chapitre 1: Quantication des incertitudes et abilité des problèmes vibro-acoustiques l’ordre deux et la probabilité de défaillance devienne ainsi: Pf = Φ(−β) nY−1 i=1 1 √ 1 + βκi ! (1.51) Avec κi sont les courbures principales de la fonction de performance au point de défaillance P ∗ .

Couplage mécano-abiliste

Le couplage mécano-abiliste (gure 1.10) a été abordé dans plusieurs travaux de recherche notamment en calcul de structures an d’assurer une conception optimale et able. Ce couplage consiste à combiner des méthodes de calcul des structures comme la méthode des éléments nis avec des algorithmes de abilité et optimisation. Il permet d’assurer une conception optimale en comparant les techniques classiques utilisées dans l’optimisation des structures mécaniques. L’étude de la abilité en mécanique nécessite une coopération entre diérents acteurs: du mécanicien au probabiliste en passant par le statisticien et le abiliste. Figure 1.10: Schéma du principe du couplage mécano-abiliste

Conclusion

Dans ce chapitre, une étude bibliographique des problèmes vibro-acoustiques est présentée. Les équations aux dérivées partielles qui gouvernent le milieu uide et le domaine structurel ainsi que les équations qui régissent les conditions initiales et aux limites sont établies. Par la suite, la discrétisation par éléments nis du problème vibro-acoustique couplé est élaboréé. Khalil DAMMAK 25 Chapitre 1: Quantication des incertitudes et abilité des problèmes vibro-acoustiques Diérentes approches ont été proposées dans la littérature permettant une modélisation d’incertitudes. Le choix de la technique appropriée dépend essentiellement de la nature de ces incertitudes et aussi de la quantité d’informations disponibles. La méthode probabiliste basée sur le concept du chaos polynômial est choisie pour traiter la modélisation et l’analyse robuste de la réponse mécanique des problèmes vibro-acoustiques. Cette méthode est détaillée dans le chapitre 2 et est comparée à la technique référentielle de Monte Carlo (MC). D’autre part, la abilité est indispensable dans l’optimisation de la conception des problèmes vibro-acoustiques qui est présentée dans le chapitre 3.

Table des matières

Introduction générale
1 Quantification des incertitudes et fiabilité des problèmes vibro-acoustiques
1.1 Introduction
1.2 Présentation des problèmes vibro-acoustiques
1.2.1 Présentation du modèle global
1.2.2 Equations du modèle de la structure
1.2.2.1 Conditions aux limites
1.2.2.2 Formulation variationnelle du problème dynamique
1.2.2.3 Discrétisation par éléments finis du problème dynamique
1.2.3 Equations du modèle de la cavité acoustique
1.2.3.1 Conditions aux limites
1.2.3.2 Formulation variationnelle de la cavité acoustique
1.2.3.3 Discrétisation par éléments finis de la cavité acoustique
1.2.4 Equations du modèle vibro-acoustique couplé
1.2.4.1 Conditions aux limites et couplage fluide-structure
1.2.4.2 Discrétisation par éléments finis du problème vibro-acoustique couplé
1.3 Quantification des incertitudes
1.3.1 Classification des incertitudes
1.3.2 Modélisation et propagation des incertitudes
1.3.2.1 Approches Possibilistes
1.3.2.2 Approches Probabilistes
1.4 Fiabilité mécanique des systèmes
1.4.1 Fonction de performance
1.4.2 Probabilité de défaillance
1.4.2.1 Méthodes de simulations
1.4.2.2 Méthodes d’approximation FORM/SORM
1.4.3 Couplage mécano-fiabiliste
1.5 Conclusion .
2 Approche robuste basée sur le chaos polynômial généralisé des systèmes vibro acoustiques
2.1 Introduction
2.2 Méthode de Monte Carlo
2.3 Chaos polynômial généralisé (CPG)
2.3.1 Généralités
2.3.2 Calcul pratique du développement en polynômes du chaos polynômial généralisé
2.3.2.1 Approche non-intrusive
2.3.2.2 Critères de choix de l’ordre optimal de troncation
2.4 Modélisation numérique de l’incertitude de la propagation acoustique via le chaos polynomial généralisé
2.4.1 Modélisation analytique du guide cylindrique
2.4.2 Modélisation numérique du guide cylindrique
2.4.3 Analyse probabiliste .
2.5 Etude vibro-acoustique d’une cavité simplifiée en présence d’incertitude
2.5.1 Etude vibro-acoustique (déterministe) .
2.5.2 Etude avec prise en compte d’incertitudes
2.6 Conclusion
3 Optimisation fiabiliste des systèmes vibro-acoustiques
3.1 Introduction
3.2 Optimisation des structures
3.2.1 Formulation du problème d’optimisation
3.2.2 Optimisation de conception déterministe
3.2.3 Exemple d’une poutre en flexion
3.3 Optimisation fiabiliste (Reliability-based design optimization RBDO)
3.3.1 Formulation de l’optimisation fiabiliste de conception
3.3.2 Approche classique
3.3.3 Approche hybride (HM)
3.3.4 Facteurs de sécurité optimals (OSF)
3.3.5 Méthode hybride robuste (RHM)
3.4 Méthode OSF couplée avec le chaos polynomial généralisé appliquée aux systèmes vibro-acoustiques en présence d’incertitudes
3.4.1 Exemple de plaque flexible couplée à une cavité acoustique rectangulaire
3.4.1.1 Modèle déterministe
3.4.1.2 Analyse probabiliste
3.4.1.3 Méthode OSF couplée avec le chaos polynomial généralisé
3.4.2 Exemple de cavité acoustique simplifiée d’un habitacle couplée avec des
plaques structurelles
3.5 Optimisation fiabiliste basée sur la méthode RHM d’un simple silencieux à chambre
d’expansion
3.6 Conclusion
4 Méta-modélisation pour l’analyse d’incertitudes des systèmes vibro-acoustiques
4.1 Introduction
4.2 Mise en oeuvre d’un modèle de substitution
4.3 Métamodèle estimé dans la boucle d’optimisation
4.4 Méthodes d’échantillonnage de l’espace de conception
4.4.1 Plans d’expérience standards
4.4.2 Méthodes de remplissage de l’espace de conception (Space filling design)
4.5 Construction des métamodèles
4.5.1 Régression polynômiale
4.5.2 Moindres carrés mobiles
4.5.3 Krigeage
4.5.4 Fonctions de bases radiales (RBF)
4.5.4.1 Formulation du modèle
4.5.4.2 Choix de la fonction de base radiale et effet du facteur d’atténuation
4.5.5 Régression à Vecteur de Support
4.6 Validation des métamodèles .
4.6.1 Mesures d’erreur
4.6.1.1 MAE, RME, RMSE
4.6.1.2 Coecient de corrélation linéaire R2
4.6.2 Validation croisée
4.7 Analyse d’incertitudes basée sur des modèles de substitution pour les problèmes
vibro-acoustiques
4.7.1 Simulation déterministe par la méthode éléments finis
4.7.2 Analyse d’incertitude basée sur le métamodèle
4.8 Conclusion
Conclusions et perspectives
Bibliographie
A Notions fondamentales de la théorie des probabilités
A.1 Notions d’expérience et d’événements aléatoires
A.1.1 Tribu des événements
A.1.2 Espace probabilisé
A.1.3 Probabilité conditionnelle, théorèmes de Bayes et des probabilités totales
A.2 Variable aléatoire
A.3 Espace d’Hilbert
A.4 Processus stochastique
A.5 Processus stochastique du second ordre
B Intégration numérique en utilisant les polynômes orthogonaux (méthodes de Gauss)
B.1 Produits scalaires
B.2 Bases orthogonales
B.2.1 Polynômes d’Hermite
B.2.2 Polynômes de Legendre
B.2.3 Polynômes de Laguerre
B.3 Méthode de quadrature de Gauss
B.3.1 Méthode de Gauss-Legendre
B.3.2 Méthode de Gauss-Laguerre
B.3.3 Méthode de Gauss-Hermite
C Algorithme d’optimisation SQP