Mise en évidence des effets d’histoire

Classification des grandeurs physiques

On peut montrer que pour les problèmes d’évolution (viscoélasticité, viscoplasticité, . . .) décrits par variables internes, les grandeurs physiques impliquées dépendent plus ou moins, selon leur type, de l’histoire du chargement [Ladevèze et Rougée 1985]. Un pointimportant est que certaines d’entre elles deviennent asymptotiquement indépendantes del’histoire, et de ce fait ne dépendent que du chargement à l’instant t après une phase transitoire. Prenant pour exemple le cas viscoplastique avec un chargement cyclique, lesauteurs montrent que diverses solutions, provenant de conditions initiales différentes, présentent asymptotiquement des caractères communs i.e. certaines quantitéspropres à cessolutions évoluent selon le même cycle limite.
Pour les problèmes de viscoélasticité linéaire que nous considérons, les quantités ne dépendant pas asymptotiquement de l’histoire du chargement sont par exemple la contrainteσ ou le taux de variation ǫ˙pi des variables internes ǫpi . Par contre, les quantités ǫ pi dépendentde l’histoire. Nous illustrons cela sur l’exemple donné sur la Figure 4.1 ; il s’agit d’unestructure en L soumise à un déplacement imposé cyclique Ud.

Influence de l’histoire sur les bornes d’erreur locale

Les effets d’histoire vont jouer un rôle important dans la qualité des bornes d’encadrement de l’erreur locale. Regardons pour cela l’estimation de l’erreur ∆I à différents instants tcy correspondant aux pics positifs de chaque cycle cy du chargement. On peut observer sur la Figure 4.3 que l’erreur vraie ∆I|tcytend à devenir constante lorsque le numéro de cycle cy augmente.
Ceci fournit généralement des bornes plus précises (d’autant plus précises que la fonction à dualiser est globale) même si la fonction duale est alors plus difficile à obtenir. Un bon compromis, que nous préconisons, est de dualiser la fonction G globale en temps mais locale en espace.Cependant, dans notre cas précis, dualiser la fonction locale ou globale en temps donnele même résultat. En effet, la fonction g ne faisant pas intervenir de dérivées temporelles de y, la fonction y éventuellement discontinue en temps et réalisant en tout point la borne supérieure de x · y − g(y, ∆h) peut être approchée par une suite de fonctions continues en temps. On a donc :

Choix de la fonction de pondération a(t)

Le choix d’une fonction a(t) telle que a(t) ≥ 0, a(T) = 0 et vérifiant le critère de convexité est assez vaste, et il est toujours possible de trouver une fonction optimale en fonction de la quantité d’intérêt I considérée. Cependant, pour les applications numériques, nous nous limiterons à deux types defonctions a(t) :
• pour les quantités d’intérêt qui ne dépendent pas asymptotiquement de l’histoire, nous prenons (Figure 4.7) :
On compare alors les bornes classiques χinf et χsup données dans le Chapitre 3 avec les bornes ξinf et ξsup que nous venons de mettre en place. Dans ce dernier cas, on utilise la fonction de pondération a1(t) qui donne la nouvelle erreur Ediss pour le problème de référence (Figure 4.14).
Les nouvelles bornes apportent donc dans ce cas une amélioration moindre. Notons que celles faisant intervenir a1(t) sont inappropriées ici et donnent des résultats très mauvais.
Cela est dû au fait que la fonction de pondération a1(t) est très faible loin du temps d’estimation de la quantité d’intérêt. La fonction duale f comprend alors des opérateurs(F2 notamment) très grands qui ne sont pas compensés par une faible valeur de x˜h,l’erreur en dissipation du problème adjoint ayant dans cet exemple des contributions non négligeables à chaque pas de temps (Figure 4.19).

Bilan

Nous avons mis en place une technique permettant de ne pas cumuler inutilement l’erreur en temps, particulièrement pour les quantités d’intérêt dépendant peu de l’histoire.
L’emploi de l’inégalité de Legendre-Fenchel apporte en outre une majoration qui est beaucoup plusefficace que celles classiquement obtenues par l’inégalité de Cauchy-Schwarz ; il faut cependant veiller à garder des propriétés de convexité.
Nous avons donc à notre disposition une méthode d’estimation d’erreur locale efficace et qui s’adapte à chaque quantité d’intérêt. Cette méthode reste cependant intrusive car elle nécessite un raffinement local en espace et en temps pour résoudre suffisament finement le problème adjoint et avoir ainsi des encadrements pertinents.
Dans le chapitre suivant, nous montrons comment améliorer de manière non-intrusive la qualité du calcul associé au problème adjoint, ce qui donne plus de souplesse à la méthode.