Stabilité du filtre de Kalman

L’un des avantages du filtre de Kalman provient du fait que, pratiquement, son gain varie dans le temps. Cependant, pour des applications où le filtre, après un certain nombre d’itérations, atteint un état quasi-permanant, le gain est constant. La stabilité du filtre est alors liée aux racines du polynôme caractéristique et spécialement aux pôles qui annulent le dénominateur [24].

Le Singer αβγ – filtre de Kalman

Le filtre Singer est un cas particulier de Kalman où le filtre est régi par un modèle dynamique cible spécifié dont l’accélération est un processus aléatoire avec une fonction d’autocorrélation donnée par [19]:
Le filtre de Kalman est un algorithme qui estime l’état d’un système à partir de donnéesmesurées. C’est un algorithme d’estimation optimal. L’algorithme du filtre est un processus endeux étapes : la première étape prédit l’état du système et la deuxième étape utilise des mesures bruyantes pour affiner l’estimation de l’état du système. Dans cette figure, nous avons les positions prédites et réelles. Au niveau de la position prédite, on note une variation intense sur la trajectoire. Cettevariation représente les erreurs de position qui sont dues au bruit. À l’aide du filtre de kalman, on retrouve les positions réelles de la cible. Le temps de corrélation est assez long : manœuvre paresseuse.
Le schéma ici présent montre l’erreur résiduelle suivant le nombre d’échantillonnage. Le bruit est présent. La variation est due au bruit. L’erreur est importante, sa moyenne se situe au tourde zéro. Au bout de 3000 itérations, le filtre n’a pas trouvé la solution. L’erreur met du temps pour se stabiliser.
Dans le cas de la manœuvre agressive où il y’a la présence du bruit, on note des variations dues à ce dernier. Ces variations représentent les erreurs de suivi de la cible. L’utilisation du filtre de Kalman permet d’extraire le bruit pour retrouver l’information utile. Au niveau du résidu de la cible, on observe de petites variations serrées autour de zéro. Le bruit est présent. Le filtre de Kalman permet d’obtenir le signal désiré. L’erreur résiduelle est proche de zéro.
Dans cette partie, les entrées peuvent être initialisées (x = 0, y = 0, z = 0, Start_loc, R, Phi,P0,..) pour correspondre à l’un ou l’autre type de cible (avion et missile). Ainsi, lorsque vouscliquez sur le bouton « ResetMissile », les coordonnées initiales de détection x, y et z du missile sont chargées dans le champ « Lieu de départ ». La vitesse de la cible correspondante est également chargée dans le champ « vitesse dans la direction x » du champ. Enfin, tous les autres champs associés au filtre de Kalman sont également chargés en utilisant les valeurs par défaut qui sont appropriées pour cette étude. L’objectif est de lancer le missile. Pour cela nous avons pris comme lieu de départ : x = 10000, y = 0 et z = 2000.
Les parametres utilises dans cette conception sont nombreux. Parmi lesquels nous pouvons :
Start_loc : emplacement de départ (lieu de départ) de la cible (m) ;
Xvelocite : vitesse de la cible dans la direction des x (m/s) ;
Yamplitude : amplitude de l’oscillation direction y (m) ;
Yperiode : période doscillation direction y (m) ;
Zamplitude : amplitude de l’oscillation en direction z (m) ;
Zperiode : période d’oscillation direction z (m) ;
Temps d’échantillonnage : longueur de l’intervalle de la trajectoire en seconde ;
Delta : temps entre les échantillons en secondes ;
Sigmaaz : écart-type d’erreur azimutale en radians ;
Sigmael : écart-type d’erreur d’élévation en radians ;
Sigmarange : écart-type d’erreur de la plage (m).
Remarque : Toutes les coordonnées sont en coordonnées de référence radar.
R : la variance du bruit de mesure ;
nvar : la variance du bruit d’état ;
X0 : estimation initiale du vecteur d’état (m) ;
P0 : estimation initiale de la matrice de covariance (m, m/s) ;
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Phi : matrice de transition d’état ;
R : erreur de mesure de la matrice de covariance (m) ;
Q : erreur d’état de la matrice de covariance (m, m/s).
A partir de la trajectoire désirée (figure 30), nous avons ajouté du bruit blanc gaussien et aléatoire pour créer les erreurs de position de la cible. La variation est due au bruit. Latrajectoire est corrompue. En conséquence, nous savons que les mesures radar donnent des résultats inexacts. Les informations sur la position du missile ne sont plus fiables : la trajectoire est altérée.
Cette figure montre les trajectoires corrompues et non corrompues en position x. Le trajet en bleu représente la trajectoire altérée. On note des variations importantes de la trajectoire altérée tout au long de la trajectoire non corrompue. Ces variations sont causées par la présence de l’erreur de mesure de la matrice de covariance, la variance du bruit d’état et deserreurs d’azimut et d’élévation qui sont importantes. Les amplitudes et les périodes en ‘’y’’ sont élevés par contre les amplitudes et les périodes en ‘’z’’ sont nulles. Nous observons des erreurs de position dans l’intervalle de 0 à 50 secondes avec le lieu de départ qui est à 1000mètres.
Dans cette nous avons aussi la trajectoire altérée (bleue) et celle non corrompue (vert) en position z. Le bruit blanc gaussien, l’erreur sur la matrice de covariance et l’erreur sur la variance d’état sont présents. Les amplitudes en y sont élevées, de mêmes que les périodes. Les amplitudes augmentent au fur et à mesure tout au long de l’intervalle d’échantillonnage, et ont une altitude de 500 mètres autour de zéro. Nous notons la trajectoire altérée de 100 à600 secondes.
Les bruits présents dans cette position sont les mêmes que celles dans les positions x et y. Ici, les amplitudes et les périodes en z sont nulles. Mais on note des variations intenses de la trajectoire altérée sur deux intervalles. D’abord entre 0 et 100 secondes, nous observons des variations qui ont une altitude de plus 30 mètres autour de la trajectoire non corrompue.Ensuite de 100 à 300 secondes, les variations sont minimes. Et enfin entre 300 et 600secondes, les changements de position de la cible sont moyens. L’erreur met du temps à sestabiliser. Nous rappelons que le lieu de départ de la cible au niveau de la position z se trouve à2000 mètres. La figure 34 montre que l’erreur d’estimation d’état est plus importante après l’étape de séparation (environ 50 à 110 secondes) et pendant le suivi final, où le capteur radarabsorbe beaucoup de bruit en raison de la proximité de la surface de la terre.
Dans cette figure, nous avons la trajectoire du missile (bleu) et la trajectoire filtrée (vert) dans les différentes positions x, y et z. En x, les trajectoires sont identiques. L’erreur s’est stabilisée rapidement. En position y, les amplitudes sont à 500 mètres autour de zéro. L’erreur se stabiliseentre 0 et 100 secondes. Et les erreurs de position augmentent petit à petit tout le longde l’intervalle. L’erreur se stabilise lentement. En z, les erreurs de suivi progressent à chaquepas de mesure sur l’intervalle d’échantillonnage. L’erreur mettra du trop de pour se stabiliser.
Comme précédemment, ce schéma montre les vitesses dans les différentes positions x, y et z. Sur la courbe des vitesses suivant ‘’x’’, on note des variations le long de la trajectoire. Nous avons pris en compte les bruits et les erreurs de suivi constatées sont dues à ces bruits avecune stabilisation lente des erreurs. Par contre au niveau de la position y, on a la même allure. L’erreur s’est stabilisée. Enfin à la position z, nous observons la stabilité des erreurs de suivi entre 0et 100 secondes. Et au-delà de 100 secondes les turbulences augmentent. L’erreur se résorbe lentement.
Dans cette figure, l’observation des erreurs de suivi se fait dans les positions x, y et z. En x les variations s’intensifient autour de zéro tout au long de l’intervalle d’échantillonnage. Lesbruits sont présents ; les variations sont dues aux bruits et l’erreur résiduelle se stabilise trèslentement. En y et  z, les turbulences augmentent progressivement, les changements depositions aussi. La stabilité de l’erreur sera lente avant de converger vers la vraie valeur. La figure suivante nous donne les covariances de l’erreur d’estimation du signal traité par le filtre de kalman. Cette matrice de covariance des erreurs est maintenue dans le cadre du processus normal de calcul du filtre de Kalman. Elle peut être considérée comme unemesure de l’incertitude de l’état cinématique (appelée estimation de l’état) de la cible.Cette figure représente une matrice de covariance d’un modèle à six états. Lescovariances 1, 3 et 5 ont la même allure. Les erreurs augmentent de 0 à une seconde, etdécroisent au-delà de la quatrième seconde et se stabilisent au pour le restant du temps.
Les covariances 2, 4 et 6 ont aussi la même variation. Les erreurs diminuent rapidement entre la première et la troisième seconde. Elles se résorbent rapidement à partir de la troisième seconde. Les erreurs sont stabilisées. D’après les résultats obtenus, on peut dire que le filtre de kalman a permis de débruiter le signal. La covariance de l’erreurd’estimation est proche de 0 ce qui traduit la bonne qualité de l’estimation.
Le gain de Kalman est calculé de manière à minimiser la covariance d’erreur à posteriori. Dans la phase de mise à jour (correction), l’estimation à priori est corrigée par l’ajout du terme correctif qui est multiplié par le gain de Kalman. On peut remarquer aussi que le gain de Kalman varie selon la confiance (précision des mesures) que l’on peut accorder aux observations, c’est-à-dire le gain de Kalman augmente si les observations deviennent plus précises et inversement. De même que précédemment, cette image désigne les gains du filtre
de kalman. Les gains de Kalman 11, 32 et 53 ont la même variation. Les gains décroissent rapidement. L’erreur s’est stabilisée. Les gains de Kalman 21, 42 et 63 diminuent légèrement avec la stabilité de l’erreur. Ils deviennent constants à partir de la cinquième seconde. Nous remarquons que le filtre de kalman converge vers la solution et que les gains font un retard entre zéro et cinq itérations pour se stabiliser.

Combinaison Kalman-MIMO

Pour un système radar MIMO à SNR élevé et un nombre relativement important d’éléments d’émission/réception, le filtre de Kalman offre une performance de suivi optimale. Cette combinaison permet de montrer la performance sur le suivi de la cible. Dans cette figure, nous avons désigné le rectangle discrétisé comme zone de recherche et l’ellipse, la région deconfiance qui est très proche de 100%. Les étoiles, le triangle et le carré sont respectivement les points de la grille, les emplacements réel et prévu de la cible. Nous limitons ici l’espace de recherche de l’estimateur de probabilité maximale par un rectangle qui circonscrit une ellipse. Si la cible est située dans la région du rectangle avec une probabilité proche de l’unité, la région nedoit pas correspondre à une position en dehors de ce rectangle. Par conséquent, l’espace derecherche et le nombre de positions ont été considérablement réduits. La zone rectangulaire quicirconscrit la région de confiance de la prédiction est discrétisée uniformément en points dans un espace bidimensionnel. L’estimateur évalue la probabilité à cespoints, en faisant correspondre la région aux emplacements des cibles représentées par ces points. De cette manière, un point approximatif est trouvé, à partir duquel un algorithme d’optimisation standard est ensuite utilisé pour affiner la recherche de ce point.Les régions de confiance à 99 % fournies par la prédiction FK ont été illustrées à la figure 41 pour trois itérations FK consécutives. Comme on peut le voir, la véritable localisation de lacible a toujours été située dans la zone de confiance à 99% de la prédiction FK [25].

Conclusion

Dans ce document, nous utilisons les filtres αβ, αβγ et le filtre de Kalman pour obtenir de meilleures données sur la trajectoire des cibles. Les filtres αβ et αβγ sont respectivement des modèles de deux et de trois états. Ils utilisent des coefficients de lissage pour enlever le bruit dans le signal. Autrement dit, ils sont des traqueurs unidimensionnels de second et de troisième ordre. Ils sont équivalents aux cas particuliers du filtre de Kalman. La structure générale de cette classe d’estimateurs est similaire à celle du filtre de Kalman. Le filtre de kalman est outil de filtrage de type stochastique, simple à utiliser dans le cas de systèmes linéaires. C’est un algorithme d’estimation optimal. Il est un modèle à six états, qui utilise la prédiction et la mise à jour pour obtenir la bonne qualité du signal. De plus la combinaison du filtre de Kalman et les systèmes radar nous permet d’avoir de bonnes performances en termes de suivi.