Preuve du théorème

Décrivons les différentes étapes de la démonstration

Une première réduction reposant sur 3.4.1 et la semi-simplicité du membre de droite de (2.3.4) permet d’identifier ΨπHn,k(M) et ΨπHmn,mk(M) pour m entier dès que (2.3.4) est connue pour ΨπHmn,mk(M), de sorte qu’on est ramené au cas où n est un multiple de mM. Dans ce cas, on se ramene à un calcul explicite avec M décomposé en observant que x admet une racine n-ième dans la formalisation de S1,n(Dk) le long de la fibre spéciale. 4.1 Réduction au cas où n est un multiple de mM Soit m un entier naturel. On suppose que la formule (2.3.4) est acquise lorsque n est un multiple de m et on la déduit dans le cas général. Il suffit de montrer que pour tout couple (n, k) avec n < k, si la relation (2.3.4) est montrée pour Hmn,mk(M), alors elle est vraie pour Hn,k(M). Le morphisme νm : Smn → Sn donne un diagramme cartésien D’après le point 5 des Notations et rappels, l’adjonction Hn,k(M) −→ p+p +Hn,k(M) est donnée par Hn,k(M) −→ OS1,mn(Dmk) ⊗OS1,n(Dk ) Hn,k(M). (4.1.2) Soient u une uniformisante de Smn et ζ ∈ Um une racine primitive. De (4.1.2), on déduit que la décomposition en sous-espaces propres de l’action de ζ sur p+Hmn,mk(M) est Hn,k(M) ⊕ uHn,k(M) ⊕ · · · ⊕ u m−1Hn,k(M). (4.1.3) Du fait de la formule ∂tu lw = l m u l t w + u l∂tw, l’opérateur ∂t stabilise chacun des facteurs de (4.1.3), donc il s’agit d’une décomposition dans la catégorie des D-modules sur S1,n(Dk). Pour a ∈ C et w ∈ Hn,k(M), la relation (t∂t − l m − a)u lw = u l (t∂t − a)w montre que si P ∈ V0(D) est tel que bw(t∂t)w = tP(t∂t , y, ∂y)w, alors bw(t∂t − l m )u lw = u l bw(t∂t)w = tulP(t∂t , y, ∂y)w = tP(t∂t − l m , y, ∂y)u lw, de sorte que bulw = bulw(t∂t) divise bw(t∂t − l m ). En utilisant le fait que u agit de façon inversible sur p+Hmn,mk(M), on montre de même que bw(t∂t − l m ) divise bulw. On a donc bulw = bw(t∂t − l m ), d’où pour a ∈ C un isomorphisme d’espaces vectoriels « multiplication par u l »bien défini 

 Le cas où n est un multiple de mM

En complétant S1,n(Dk) le long de la fibre spéciale de π, définie par l’idéal (t), on obtient d’après [38, 8.12] le schéma S1\,n(Dk) d’anneau de fonctions C[y]Jx, tK/(x − t np) ∼ /C[y]JtK , 4.2 – Le cas où n est un multiple de mM 31 où on a posé p = 1+ytk−n . D’après 3.2.1, on ne change pas les cycles proches de Hn,k(M) en restreignant la situation à S1\,n(Dk), ce que l’on fera dans la suite. Or p admet des racines n-ième dans l’anneau de fonctions de S1\,n(Dk). Notons z la racine satisfaisant à z ≡ 1 + ytk−n/n 

Appendice 5.1

Nullité des cycles proches pour r ≤ 1 et M décomposé Proposition 5.1.1. On suppose k ≤ n et M ≃ ⊕Eω ⊗ Rω sans partie régulière. Alors ΨπHn,k(M) ≃ 0. Démonstration. On a ΨπHn,k(M) ≃ M ω1,ω2 Ψt(E ω1(x)−ω2(t n) ⊗ Rω1,ω2 ), avec Rω1,ω2 régulier le long de la fibre spéciale. Désignons par Hn,k(ω1, ω2) le terme de cette somme correspondant aux formes ω1 et ω2, et écrivons ωi = Pi(x)/xqi avec deg Pi < qi . Pi(0) est le coefficient dominant de ωi pour la variable 1/x. M étant supposé sans partie régulière, Pi(0) 6= 0. Alors en effectuant le changement de variable u = t et v = t n−k + y, on a