Pression dynamique au point d’arrêt et conservation des quantités de mouvement

Manifestations de la Pression Dynamique sur des corps particuliers

On peut à l’occasion observer des effets de la Pression Dynamique sur certains corps, par exemple sur les ballons à gaz lorsque la force du vent crée, au point d’arrêt, une Pression Dynamique supérieure à leur pression interne :
LE MAGASIN PITTORESQUE numérisé par Google Book,
Disponible également à ce lien : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314556/f177.image
Dans toute la zone enfoncée, les pressions suscitées par le vent sont du même ordre que la pression interne. On appelle ce phénomène enfoncement dynamique .
Lorsqu’ils prennent leur vitesse, les ballons dirigeables non-rigides à hélium risquent de la même façon de connaître ce phénomène d’enfoncement dynamique dès lors qu’en leur point d’arrêt la Pression Dynamique (suscitée par l’écoulement d’air) sera plus forte que leur pression interne (ou pression de gonflage) : ladite pression de gonflage est en effet extrêmement faible (de 1 à 4 millièmes de la Pression atmosphérique).
C’est pour obvier à ce danger que le nez de ces ballons dirigeables comporte des lattes de renfort :
Ces lattes servent également de renforts lorsque l’engin est attaché à un mât
Ceci posé, nous ne saurions mieux illustrer la présence de la Pression Dynamique qu’en présentant cette image des dégâts qu’elle a causé à ce Super Guppy lors de tests de certification à hautes vitesses. Plutôt que pression dans cette dernière phrase, nous devrions d’ailleurs écrire surpression relative puisque l’enfoncement dynamique dépend évidemment aussi de la pression qui règne à l’intérieur du corps .

Relation Pression / Vitesse 

Dans tous ces graphes, qui attribuent à la pression au point d’arrêt la valeur ½ ρV², on a une relation directe entre la distribution des vitesses sur le corps et la distribution des pressions : c’est celle qu’impose la loi de Bernoulli. Le graphe suivant nous dévoile par exemple la distribution des vitesses (ou plutôt des Coefficients de Vitesse) autour du dirigeable états-unien Akron
Par Coefficient de Vitesse, on entend le quotient de la vitesse locale de l’écoulement (hors Couche Limite) par la vitesse de l’écoulement loin du corps. Ce Coefficient de Vitesse apparaît ci-dessus en ordonnées sous le nom U/U0.
Cette distribution des Coefficients de Vitesse a été calculée par Young d’après un relevé des pressions sur ce corps effectué par Freeman . Young a utilisé la loi de Bernoulli que l’on sait être, pour toute particule n du fluide (en dehors de la Couche Limite) :Pn + ½ ρVn2 = Cste
(ceci du moins pour un fluide assez léger comme l’air et bien sûr en subsonique incompressible)
La valeur à donner à Pn dans cette équation est la pression qui comprime réellement cette particule. Cette pression est la somme de la Pression Ambiante (en général la Pression Atmosphérique) et de la Pression Relative crée aérodynamiquement par l’écoulement, soit Pn = Patm + Prelat n.On doit donc écrire :Pamb + Prelat n + ½ ρVn2 = Cste
Ce qui donne :Prelat n + ½ ρVn2 = Cste – Pamb
La Pression Ambiante étant considérée comme constante, Cste – Pamb est également une constante que nous nommerons Cste’. On a donc :
Prelat n + ½ ρVn2 = Cste’
Loin du corps (à l’infini), l’équation de Bernoulli est toujours applicable ; on peut donc écrire :
Prelat ∞ + ½ ρV∞2 = Cste’
Comme très loin du corps il ne saurait y avoir de modification de la pression relative du fait de la présence du corps (il n’y a ni surpression, ni dépression), on a Prelat ∞ = 0.
On peut donc en tirer que Cste’ = ½ ρV∞2
L’équation de Bernoulli, pour toute particule n est donc :
Prelat n + ½ ρVn2 = ½ ρV∞2
Si l’on divise à présent les deux membres de cette égalité par ½ ρV∞2 ou Pdyn (qui sont égaux), on obtient :Prelat nPdyn + Vn2V∞2 = 1

On peut reconnaître dans le premier quotient le Coefficient de Pression Cp précédemment défini par nous (comme le quotient de la Pression relative sur la Pression Dynamique).C’est cette relation entre Coefficient de Pression et Coefficient de Vitesse qui a permis à Young de tracer la distribution des vitesses du graphe déjà présentée à partir des relevés de pressions établis précédemment sur le dirigeable par Freeman (ces Coefficient de Pression sont les marques rouges, correspondant à l’incidence nulle du dirigeable).Et effectivement, si on fait le calcul inverse, on peut repasser de la distribution des Coefficients de Vitesse de Young (ci-dessous en bleu) aux Coefficients de Pression établis par Freeman (ci-dessous en rouge) :
Sur ce graphe, nous avons placé le 0 des Coefficients de Pression (lesquels doivent être lus sur l’axe secondaire rouge de droite) à la hauteur du 1 des Coefficients de Vitesse : c’est l’horizontale violette.On peut remarquer que les deux croisements des courbes se produisent, sur cette horizontale violette :
 à l’avant : à la fin de la zone de surpression du point d’arrêt
 et à l’arrière : au début de la surpression de culot .
Il est d’autre part notable que la nature quadratique de l’équation Cp + Cv2 = 1 rend les variations de pression (en rouge) plus marquées que celles de vitesse (en bleu).
En tout état de cause, la forme de la courbe rouge des Coefficients de Pression peut bien-sûr être comparée à celle de la courbe de Freeman (marques rouges pour l’incidence nulle) qui en est l’origine, bien que la différence d’échelles complique cette comparaison.
On peut noter qu’un défaut de mesure apparaissant sur la courbe de Freeman (flèche rouge) a été régularisé sur la courbe rouge de Young…
Pour le plaisir, décryptons notre graphe ci-dessus à l’aide des moyens mathématiques que nous venons de dégager :
Au point d’arrêt, comme on s’en doute, le Coefficient de Vitesse (en bleu) est nul (la vitesse étant nulle) (ce point est hors des limites du graphe) et le Coefficient de Pression (en rouge) vaut 1 (ce point est également hors des limites du graphe), ces deux valeurs étant liées par l’équation adimensionnelle de Bernoulli Cp +Cv2 = 1.
Un peu avant le dixième de la longueur du corps (comme précisé en abscisses), le Coefficient de Vitesse (en bleu) passe par la valeur 1.
Dans la zone (de forme annulaire) correspondant à cette abscisse, la vitesse locale du fluide égale en effet celle de l’écoulement loin du corps.
L’application de l’équation Cp +Cv2 = 1 avec Cv = 1 nous rappelle qu’à cette abscisse le Coefficient de Pression Cp est nul (on est, de fait, à la limite entre la surpression entourant le point d’arrêt et la dépression qui va croître jusqu’à la maîtresse section du corps).
À mesure qu’on se dirige vers l’arrière, dans la partie quasi-cylindrique du dirigeable, l’écoulement tend à se réorganiser comme si le corps avait fait sa trace : le Coefficient de Vitesse (en bleu) tend à décroître pour se rapprocher de 1 (celui de l’écoulement loin du corps) alors que le Coefficient de Pression tend à se rapprocher de 0.
Ces deux régressions vers les valeurs de 1 et 0 existant loin du corps sont facilement observables sur les longs fuselages cylindriques de fusées, ainsi que sur les tubes de Pitot, nous y revenons à l’instant.
Mais un peu plus en aval que ce milieu du corps, le début de la décroissance des sections du dirigeable crée un appel d’air qui réaccélère l’écoulement, ce qui est visible au léger ressaut du Coefficient de Vitesse (bleu) et encore plus visible à la nette décroissance du Coefficient de Pression (du fait de la nature quadratique de l’équation de Bernoulli).Au culot la vitesse a nettement décru ; néanmoins elle ne retrouve pas, à la pointe arrière du corps, la valeur nulle que pronostiquent les calculs effectués en non-visqueux : le Coefficient de Vitesse atteint encore 0,876. Cette valeur du Coefficient de Vitesse, placée dans l’équation Cp + Cv2 = 1 produit un Coefficient de Pression de 0,23, alors que lesdits calculs théoriques (en non visqueux) prônent en ce point d’arrêt arrière un Coefficient de Pression égal à celui du point d’arrêt avant, soit 1.