Présentation générale des modèles de migration

Modèles de type « Darcy »

La migration darcéenne suppose que le déplacement des hydrocarbures s’effectue conformément à la loi de Darcy étendue aux fluides polyphasiques (Bear, 1972; Marle, 1972). Elle est contrôlée par la gravité, le champ de pression et la pression capillaire. Ce type de migration est simulé en résolvant des équations aux dérivées partielles ; le traitement numérique du système d’équations obtenu est généralement considéré comme complexe et coûteux en temps calcul (Schneider, 2003).

Modèle continu

Loi de Darcy

On rappelle que la loi de Darcy, fondée sur des résultats expérimentaux mesurant le débit d’eau qui s’écoule à travers un échantillon de milieu poreux, s’exprime de la façon suivante (cf. paragraphe 3.1.2.1) : P K U ∇−= µ Où, U est la vitesse de Darcy ou vitesse de filtration permettant de calculer le débit d’eau (m/s), K est la perméabilité de la roche (m2 ), µ est la viscosité du fluide Newtonien (Pa.s), P est la pression (Pa). D’un point de vue théorique il a été prouvé que la loi de Darcy n’est pas une loi constitutive mais une forme simplifiée du modèle de Navier-Stokes homogénéisé (Hubbert, 1956; Irmay, 1958; Bear, 1972; Whitaker, 1986). Le coefficient µ K est un terme visqueux dû au frottement à l’interface solide-fluide. De plus, afin de généraliser la loi de Darcy aux écoulements polyphasiques, la manière la plus simple est de supposer que chaque phase fluide maintient un réseau de passages ; le fluide mouillant dans les pores les plus larges, avec un frottement entre le fluide et le solide (Bear, 1972). En plus des trois processus précédemment mentionnés (la flottabilité, les forces capillaires et les gradients de pression), l’extension de la loi de Darcy aux écoulements polyphasiques en milieu poreux utilise la notion de perméabilité relative. En diphasique, ce terme de correction du tenseur de perméabilité traduit la réduction de perméabilité offerte à l’écoulement d’un fluide du fait de la présence de l’autre fluide au sein du milieu poreux : les deux fluides se gênent mutuellement (Guérillot et Kalaydjian, 1988). Remarque. Les deux équations de conservation de la masse considérées sont de type parabolique par rapport à la pression. La pression est continue; cependant le gradient de pression est discontinu du fait de la discontinuité des perméabilités provenant de l’hétérogénéité du milieu. Dans le cas où la pression capillaire est nulle, ces équations de conservation sont de type hyperbolique non linéaire par rapport à la saturation. Des discontinuités, liées à la présence de deux phases distinctes, peuvent donc apparaître et se propager. Pour qu’elles ne soient pas visibles à l’échelle des maillages utilisés, il faut que la pression capillaire induise un terme de diffusion suffisamment important, ce qui n’est pas toujours le cas (Faille, 1992). 

Discrétisation du modèle 

La loi de Darcy est classiquement couplée avec un modèle de pression-compaction. Ceci signifie que non seulement le calcul de migration des hydrocarbures dépend du calcul de pression-compaction, mais aussi que la résolution de la pression/compaction a une influence sur le calcul de migration. Afin de résoudre le système d’équations décrit dans le paragraphe 4.1.1.3, les méthodes de différences finies, d’éléments finis ou de volumes finis sont utilisées pour la discrétisation en espace. Différents schémas temporels sont aussi employés pour les équations de transport : le schéma Impes avec un traitement implicite pour le calcul de pression-compaction et un autre explicite pour toutes les autres inconnues ; le schéma Impims fondé sur un traitement implicite pour toutes les inconnues (Wolf et al., 2011). Ces deux stratégies temporelles résolvent de manière séquentielle en deux étapes différentes les équations de pressioncompaction et les équations de transport. Au contraire, avec le schéma Fully Implicit, on doit résoudre un système couplé d’équations non linéaires pour la pression et la saturation d’hydrocarbures. Tous ces schémas ont différents avantages et inconvénients (Wolf et al., 2011), mais dans tous les cas, accomplir une simulation avec un modèle darcéen complet est coûteux en temps calcul. En effet, pour traiter la non-linéarité des équations, on utilise classiquement un schéma de Newton. La convergence de ce schéma peut, dans certains cas, être difficilement atteinte et causer la diminution du pas de temps, particulièrement lorsqu’une grande quantité d’hydrocarbures migre rapidement. A chaque itération de Newton, la résolution du système linéaire représente une part très importante du temps de calcul (Willien et al., 2009). La gestion des pas de temps dépend aussi des fortes hétérogénéités des propriétés des fluides. Néanmoins, les techniques de parallélisations ainsi que l’utilisation de préconditionneurs spécifiques pour le solveur (Scheichl et al., 2003) peuvent améliorer le temps de calcul de l’approche darcéenne (Requena et al., 2005). Dans la suite de ce paragraphe, nous détaillons la discrétisation en espace et en temps des équations du modèle darcéen pour un écoulement diphasique. Nous nous plaçons dans le cas d’une discrétisation en espace à l’aide de la méthode des volumes finis centrés sur les mailles (Eymard et al., 2000) et nous décrivons le schéma Fully Implicit. Nous partons du système d’équations décrit dans le paragraphe 4.1.1.3. En ce qui concerne les conditions aux limites, sur le bord supérieur du domaine, la contrainte totale et la pression sont imposées, égales à la somme de pression atmosphérique et de la pression exercée par le poids de la colonne d’eau représentant le niveau de la mer. De plus, la saturation d’eau est imposée à 1. Sur les autres bords du domaine, on impose des conditions de flux d’eau et d’huile nuls. Comme conditions initiales, on considère que la saturation d’huile est nulle et que la pression et la contrainte totale sont égales à la pression hydrostatique.

Discrétisation en espace

 Nous discrétisons les équations de cette manière : On note Ωk une maille du domaine considéré et l’indice α désigne par la suite une phase avec la convention α = w pour la phase eau, α = o pour la phase huile et α = s pour la phase solide. Le maillage est associé à la matière solide et se déplace à la vitesse Vs . Dans la suite de ce paragraphe, on note : ρ α ,k la densité de la phase α de la maille Ωk , Krα ,k la perméabilité relative de la phase α de la maille Ωk , µ α ,k la viscosité de la phase α de la maille Ωk , Sα,k la saturation de la phase α de la maille Ωk , Pα ,k la pression de la phase α de la maille Ωk , ϕ k la porosité de la maille Ωk , k z la profondeur de la maille Ωk , k hr la hauteur réelle de la maille Ωk , σ k la contrainte effective de la maille Ωk , σ z,k la contrainte totale de la maille Ωk , dk ,k′ la distance séparant les centres de la maille Ωk et de sa voisine Ωk′ , Lk l’ensemble des mailles voisines de la maille Ωk , δ l une interface entre la maille Ωk et une de ses mailles voisines. 

Améliorations 

Avec le schéma Fully Implicit, on doit trouver, à chaque pas de temps, une solution d’un système d’équations non linéaires pour la pression/compaction et la saturation. L’algorithme de Newton, utilisé pour la linéarisation du système, peut amener à réduire le pas de temps de calcul afin de converger dans le cas par exemple de brusques variations de géométrie ou d’un apport important et soudain en hydrocarbures. De plus, le système linéaire a une très grande taille, il est fortement non-symétrique et très mal conditionné. C’est pourquoi afin d’avoir une solution itérative robuste, il est très important de trouver un préconditionneur adéquat (Scheichl et al., 2003; Willien et al., 2009). Afin d’améliorer les performances en temps calcul, plusieurs directions ont été étudiées. L’une d’entre elles est l’utilisation du schéma Impims (Wolf et al., 2011) résolvant de manière découplée le problème de pression/compaction et celui du transport des hydrocarbures. Ceci permet de dissocier les difficultés du solveur pour la résolution de la pression/compaction de celles concernant la saturation d’hydrocarbures. Ce schéma apporte ainsi un gain significatif en temps de calcul tout en donnant, dans la majorité des cas, des résultats similaires à ceux du schéma Fully Implicit. En effet, les historiques de remplissage des pièges, les quantités d’hydrocarbures accumulées et les chemins de migration sont comparables. Du fait du coût du temps de calcul du modèle darcéen, des maillages grossiers sont le plus souvent utilisés. Une première voie d’amélioration consiste en l’utilisation des techniques de parallélisation (Requena et al., 2005) qui permettent de diminuer très fortement les temps de calcul des simulations ainsi que d’avoir un nombre de mailles beaucoup plus grand. Conjuguée à la parallélisation, une deuxième solution à ce problème est l’utilisation du raffinement local de maillage (LGR). Il permet de représenter certaines zones du bassin sédimentaire avec plus de précision. Ainsi les zones d’intérêt, généralement les accumulations finales des hydrocarbures dans le bassin à l’âge actuel, sont décrites de manière détaillée latéralement et verticalement. Elles correspondent soit à des zones où de nombreuses données sont accessibles, soit à un besoin de prédiction et de représentation précise de l’évolution des variables de pressions et de saturations. Avec le LGR, les zones du maillage raffiné sont très localisées et la résolution du reste du maillage reste faible, contrairement au maillage de type écossais qui surmaille des zones sans intérêt, ce qui ralentit le déroulement de la simulation (Thibaut et al., 2005). L’introduction d’un sous-maillage spécifique aux zones sur lesquelles on souhaite plus de précision, engendre un maillage non structuré. L’un des problèmes rencontrés consiste en la création de chevauchements ou de trous dans la direction verticale entre le maillage grossier et les zones raffinées. Il faut alors être capable, dans ce cas, de conserver le volume total du bassin. De plus, les zones d’intérêt peuvent contenir d’importantes hétérogénéités dont il faut tenir compte. Ces travaux ont fait l’objet d’un article accepté pour publication (Monnier et al., 2011), présenté dans le chapitre 9, dans lequel sont décrites les différentes méthodes de raffinement de maillage et qui contient une illustration de l’utilisation du LGR sur un cas d’étude du nord du Koweït. Remarque. Il existe d’autres approches de modélisation de la migration des hydrocarbures basées sur le modèle de Darcy que nous n’avons pas détaillées dans cette thèse. L’une d’entre elles utilise la méthode des lignes de courant (Atfeh, 2006) ; une autre traite la migration secondaire comme un écoulement des hydrocarbures en phase séparée, contrôlé par la flottabilité, dans des aquifères hydrostatiques (Lehner et al., 1988).