Préliminaires Plan affine et courbes sur le plan affine

Plan projectif et courbe sur le plan projectif Considérons maintenant la relation suivante sur A n+1(K)\{(0, 0, . . . , 0)} comme suit deux points p = (a1, a2, . . . , an+1) et q = (b1, b2, . . . , bn+1) de A n+1(K)\{(0, 0, . . . , 0)} sont équivalents (on note P ∼ Q) s’il existe λ ∈ K ∗ tel que P = λQ = (λb1, λb2, . . . , λbn+1) Une classe d’équivalence sera appelée point projectif. On appelle espace projectif de dimension n et l’on note P n , l’ensemble des points projectifs. Un point projectif p = (a1, a2, . . . , an+1) sera noté p = (a1 : a2 : . . . : an+1) Exemple 1.7. – P 1 est appelé droite projective. – P 2 est appelé plan projectif.

Dans l’espace affine les courbes sont définies comme étant l’ensemble des zéros d’un polynôme ou une famille de polynômes. Mais pour définir une courbe projective, on doit d’abord expliciter ce que veut dire un point est « zéro d’un polynôme » car on peut rencontrer un problème si l’annulation d’un polynôme dépend du représentant. C’est pourquoi on considère des polynômes homogènes c’est à dire tels que tous ses monômes ont même degré. Si f est un polynôme homogène de degré n, il vérifi alors : f(λx1 : λx2 : . . . : λxn+1) = λ n f(x1 : x2 : . . . : xn+1) pour tout λ ∈ K. Pour de tels polynômes, les zéros sont bien définis, puisque l’annulation ne dépend pas du représentant. Soit K[X1, X2, . . . , Xn+1] l’anneau des polynômes homogènes à n + 1 indéterminées. Si S est une partie de K[X1, X2, . . . , Xn+1], le lieu des zéros de S est l’ensemble

Lien entre représentation affine et représentation projective

Nous pouvons faire le lien entre une courbe du plan affine et une courbe du plan projectif comme nous venons de les définir. Considérons une courbe C de P 2 donnée par un polynôme homogène de degré d : C : F(X : Y : Z) = 0 Si P = (a : b : c) est un point de la courbe tel que c 6= 0, on poura considérer que ce point du plan projectif correspond au point  a c , b c  du plan affine. Par ailleurs on constate que si F est homogène de degré d, alors F a c : a c : 1 =  1 c d F(a : b : c)

Nous pouvons alors définir une courbe dans le plan affine A 2 à partir d’une courbe dans le plan projectif, dont les points (x, y) seront solutions de l’équation f(x, y) = 0, avec f définie par : C 0 : f(x, y) = F(x : y : 1) On constate qu’il y’a correspondance entre les points P = (a : b : c) de la courbe C tels que c 6= 0 et les points de la courbe C 0 . Si c = 0 nous considérons que les points P = (a, b, 0) de la courbe C sont envoyés à l’infini dans le plan affine. Nous noterons l’ensemble de ces points à l’infini P 1 = {(a : b); (a : b : 0) ∈ P 2}. Dans ce cas on a : P 2 ≈ A 2 ∪ P 1 Remarque 1.14. En ce qui concerne les courbes elliptiques, nous verrons que seul un point de la courbe appartient à P 1 . Définition 1.15. Soit E une courbe affine ou projective.

La courbe E est dite irréductible si on ne peut pas l’écrire comme union de deux sous ensembles algébriques propres. En d’autres termes si E = C1 ∪ C2 avec C1, C2 des sous ensembles algébriques de E, , alors E = C1 ou E = C2. Théorème 1.16. (Théorème de Bézout) Soit C et D deux courbes projectives planes définies respectivement par deux polynômes premiers entre eux F, G ∈ K[X, Y, Z], de degrés respectifs d et d 0 . Alors le nombre d’intersections, comptés avec multiplicité, de ces deux courbes est égal à d × d 0 . Démostration : Voir [1].