Pourquoi étudier la supersymétrie

La géométrie des théories de jauge

Malgré les grandes réussites théoriques et phénoménologiques de la théorie des perturbations en théorie des champs, il est aujourd’hui clair qu’un grand nombre de phénom`enes intéressants en physique des particules sont de nature non-perturbative. V. N. Gribov a mis en évidence une difficulté de la formulation intégrale fonctionnelle des théories de jauge non-abéliennes fixées de jauge, `a savoir qu’elle n’a de sens que perturbativement [6]. Cette obstruction `a l’existence d’une jauge globalement définie est de nature purement géométrique. I. M. Singer a en effet établi que ce probl`eme était dˆu `a la topologie non-triviale de l’espace des orbites de jauge [7].

La définition compl`ete de l’intégrale fonctionnelle en théorie des champs doit donc faire intervenir un atlas de cartes ainsi qu’une partition de l’unité sur un espace courbe de dimension infinie et qui plus est stratifié. Ce probl`eme, insurmontable d’apparence, peut ˆetre résolu dans le cas o`u un théor`eme de localisation permet de réduire l’intégrale fonctionnelle `a une intégrale sur un espace de dimension finie. Cette propriété exceptionnelle est une caractéristique des théories topologiques de type cohomologique. En particulier, la théorie de Donaldson–Witten [8] et ses extensions constituent des exemples de théories de Yang–Mills topologiques de type cohomologique pour lesquelles l’intégrale fonctionnelle se réduit par localisation `a une intégrale sur un espace de dimension finie .

La théorie de Donaldson–

Witten a été introduite par ce dernier comme un sous secteur de la théorie de Yang–Mills supersymétrique N = 2 qui peut ˆetre défini sur une variété riemannienne quadridimensionnelle quelconque, bien que la théorie supersymétrique ne soit bien définie que sur un espace plat. Pour ce faire, il utilise des variables dites tordues, c’est `a dire des champs correspondant `a la décomposition des représentations irréductibles de Spin(4) × SU(2)R ∼= SU(2)+ × SU(2)− × SU(2)R (groupe de symétrie globale de la théorie)  

Généralités sur les théories de jauge supersymétriques 

Quelques notions de supersymétrie

Selon le théor`eme de Coleman–Mandula, les seules alg`ebres de Lie de générateurs de symétrie d’une théorie des champs,1 consistent en la somme de l’alg`ebre de Poincaré ou de l’alg`ebre conforme associée et d’une alg`ebre de symétrie interne compacte. Il est cependant possible de passer outre `a ce théor`eme en introduisant une superalg`ebre de symétrie, c’est `a dire une alg`ebre de Lie dite Z2 graduée dont les générateurs de graduation non nulle ont pour param`etres les générateurs d’une alg`ebre de Grassmann. Une alg`ebre de Lie Z2 graduée g se décompose en g0 ⊕ g1 tel que des éléments Xα ∈ gα, Yβ ∈ gβ et Zγ ∈ gγ vérifient que XαYβ − (−1)αβYβXα = Zα+β, qu’on notera [Xα, Yβ] = Zα+β, ainsi que l’identité de Jacobi graduée (−1)αγ[Xα, [Yβ, Zγ]] + (−1)βα[Yβ, [Zγ, Xα]] + (−1)γβ[Zγ, [Xα, Yβ]] = 0 (1.4) A partir de l’alg`ebre de Poincaré de l’espace de Minkowski de dimension n, on peut construire différentes extensions Z2 graduées.

Pour satisfaire au théor`eme spin-statistique en théorie des champs, les générateurs fermioniques de symétrie, afin de s’exprimer en fonction de courants locaux, doivent ˆetre dans des représentations spinorielles de Spin(n − 1, 1). De mani`ere générale les générateurs fermioniques sont définis dans des représentations irréductibles de R×Spin(n−1, 1) qui apparaissent dans la décomposition de la représentation produit tensoriel de la représentation spinorielle complexe non contrainte de Spin(n − 1, 1) et d’une représentation de R, o`u R est un groupe de Lie compact.