Calculatrice symbolique

L’avancée des découvertes scientifiques dans le domaine de l’électronique et la miniaturisation a révolutionné le monde entier. Il y a trente ans, la calculatrice se limitait aux quatre opérations. Aujourd’hui, grâce au progrès technologique, les calculatrices sont de plus en plus sophistiquées et performantes. Elles ne se limitent plus aux calculs numériques mais permettent des opérations qui vont bien au-delà du calcul élémentaire. Munies de logiciels de calcul formel, elles sont capables d’effectuer des opérations algébriques complexes contrairement au calcul numérique qui effectue seulement des opérations mathématiques sur des valeurs arithmétiques. Le principe de calcul symbolique est de transformer une expression algébrique en une forme différente de celle qu’elle a initialement.

Le calcul formel et le logiciel de calcul symbolique

Le terme « calcul formel » est utilisé non seulement pour nommer le champ de recherche qui vise à créer et à évaluer les algorithmes de traitement des expressions mathématiques (Davenport et al. , 1986), mais aussi pour désigner le travail de création mené dans l’ enseignement pour l’intégration de ces algorithmes sous forme de logiciels opérationnels (Juge G., 1994).

Le terme «formel » peut avoir deux sens comme le distingue bien Lagrange J., (2000). D’une part, il renvoie à un niveau de travail mathématique qui privilégie les définitions et les preuves et d’autres part, il renvoie à un niveau des représentations calculables (dérivé, limites … etc.).

Ce deuxième niveau est celui qui permet une modélisation des phénomènes réels par des représentations et des traitements «symboliques». Le calcul formel s’effectue davantage à ce niveau qu’à celui, «formel», des définitions et des preuves.

Dans la littérature anglo-saxonne, le terme « Symbolic and Algebraic Computer » est généralement utilisé pour désigner le domaine de recherche sur les algorithmes. Les logiciels mettant en application ces algorithmes sont désignés par « Computer Algebra System». Ces dénominations mettent l’accent sur les représentations calculables, les traitements algébriques de symboles.

Le terme « Système de Mathématiques Symboliques » serait le plus approprié, comme le souligne Lagrange J., (2000) mais le «calcul formel» s’est imposé dans la pratique.

Un logiciel de calcul symbolique (LCS : pour le reste du texte) est un programme informatique capable de réaliser toutes sortes d’opérations mathématiques selon des algorithmes bien établis. Les LCS comme Maple ou Derive, qui sont installés sur les calculatrices symboliques, traitent les symboles (des variables, des fonctions, etc.) à travers des règles de manipulation. Ils sont donc en mesure de traiter l’aspect formel de l’algèbre notamment.

Mais ces logiciels présentent cependant certaines limites. Tout d’abord, leur reconnaissance du zéro est délicate. Dans l’expression sin (mr), n représente un symbole pour le logiciel et non un entier. L’utilisateur doit faire la demande explicite, en indiquant que n peut prendre des valeurs entières, pour que l’expression sin (nn) soit écrite en zéro. Ensuite, ils peuvent afficher des messages dont le sens est difficile à saisir. Par exemple, avec le logiciel de calcul formel DERIVE on obtient -5 et 1/0.

La calculatrice symbolique et l’enseignement des mathématiques 

L’utilisation des calculatrices symboliques nécessite de nouvelles connaissances, et modifie certaines pratiques pédagogiques comme le souligne Lemberg, (2000) dans son article Mention très bien pour les calculatrices. L’utilisation du logiciel de calcul formel se traduit par des modifications au niveau de l’enseignement et nécessite une nouvelle approche pour certains concepts. L’influence des LCS sur l’enseignement des mathématiques se manifeste par l’importance qu’on accorde à certains objectifs du programme d’études. Certains sujets vont être peu importants que d’autres parce que les outils technologiques les remplacent. Je prends ici l’exemple de la technique de l’extraction d’une racine carrée à la main qui fût longtemps enseignée jusqu’a ce que celle-ci devienne désuète suite à 1′ appariation des calculatrices électroniques.

D’autres sujets deviennent importants et leurs réalisation devient possible parce que les outils technologiques les rendent accessibles (exploration des situations plus complexes, manipulation d’un grand nombre de données, utilisation de différentes modes de représentations … etc.).

La conception des activités, des exercices et des problèmes sera changée. Ceux-ci vont être certainement beaucoup plus ouverts et plus complets. Les méthodes graphiques de résolution seront plus présentes. La répétition d’exercices techniques sera fortement atténuée. Les calculs techniques ou très longs et ceux qui demandent une certaine habileté technique seront délégués aux LCS. Sans ces changements, l’équilibre entre les différentes parties du programme peut être affecté car, jusqu’à un certain point, négligé.

L’utilisation des LCS influence également l’évaluation. Les calculatrices symboliques sont capables de donner une réponse à la plupart des sujets d’examens. L’utilisation d’une telle calculatrice dans l’enseignement oblige les enseignants à concevoir de façon différente le travail qu’ils exigeront de leurs élèves. Pour un devoir ou un contrôle avec calculatrice, 1′ enseignant doit abandonner les exercices pour lesquels on demande seulement une réponse comme les questions à choix multiples.