Position et orientation de l’hélicoptère

Diagramme des valeurs singulières A4

Diagrammes des valeurs singulières d’une matrice de transfert A4

Nous considérons un système linéaire MIMO ayant pour matrice de transfert G(p) à n lignes et n colonnes de rang k. Définition : Les valeurs singulières de la matrice de transfert 𝐺(𝑗𝜔) de rang k, notée 𝜎𝑖(𝐺) sont les racines carrées des valeurs propre de 𝐺(𝑗𝜔).𝐺 𝑇 (𝑗𝜔) 𝑒𝑡 𝐺 𝑇 (𝑗𝜔). 𝐺(𝑗𝜔) : 𝜎𝑖 (𝐺) = √𝜆𝑖 [𝐺𝑇(𝑗𝜔).𝐺(𝑗𝜔)] = √𝜆𝑖 [𝐺(𝑗𝜔).𝐺𝑇(𝑗𝜔)] (A4.01) – 𝜆𝑖 est la 𝑖 è𝑚𝑒 valeur propre du produit matriciel 𝐺 𝑇𝐺 ou 𝐺𝐺 𝑇 ; – 𝜎𝑖 (𝐺) est la 𝑖 è𝑚𝑒 valeur singulière de la matrice G ; – Elles sont réelles, positives ou nulles et sont classées par ordre de grandeur croissante : 𝜎1 ≫ 𝜎2 ≫ ⋯ ≫ 𝜎𝑘 et 𝜎𝑘+1 = ⋯ = 𝜎𝑛 = 0 (A4.02) – La plus grande valeur singulière, appelée aussi norme spectrale, est notée 𝜎(𝐺) et représente une norme induite sur l’espace des matrices de même dimension que la matrice transfert G. – La plus petite valeur singulière est notée 𝜎(𝐺). – Les produits 𝐺 𝑇 (𝑗𝜔).𝐺(𝑗𝜔) et 𝐺(𝑗𝜔).𝐺 𝑇 (𝑗𝜔) sont des matrices hermitiennes semi définies positives. Ces deux matrices ont k valeurs propres égales et les éventuelles valeurs propres supplémentaires sont nulles. – Le nombre de valeurs singulières non nulles est égal au rang de la matrice G. A4.1.2. Diagrammes des valeurs singulières Considérons un système linéaire invariant avec un vecteur d’entrée 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑚𝑒 𝑗𝜔𝑡 et de sortie. Soit sa matrice de transfert 𝐺(𝑗𝜔). En réponse à un signal harmonique, la sortie du système s’écrit : 𝑣(𝑡) = 𝐺(𝑗𝜔) 𝐸𝑚𝑒 𝑗𝜔𝑡 (A4.03) 274 Les propriétés des valeurs singulières permettent d’écrire : 𝜎[𝐺(𝑗𝜔)] ≤ ‖𝑣(𝑗𝜔)‖2 ‖𝑒(𝑗𝜔)‖2 ≤ 𝜎[𝐺(𝑗𝜔)] (A4.04) Ainsi les valeurs singulières 𝜎𝑖 [𝐺(𝑗𝜔)] constituent donc une généralisation aux systèmes MIMO de la notion de gain et peuvent être représentées dans le plan de Bode. Le gain à une fréquence donnée est compris entre les valeurs singulières supérieure et inférieure. En particulier, pour un système monovariable (SISO), il n’existe qu’une seule valeur singulière, qui est telle que : 𝜎[𝐺(𝑗𝜔)] = 𝜎[𝐺(𝑗𝜔)] = |𝐺(𝑗𝜔)| (A4.05) Les valeurs singulières permettent, grâce à σ, de définir une norme matricielle et, grâce σ de caractériser l’éloignement d’une matrice de la singularité. Propriété : Soit 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑉𝐺 (𝑗𝜔) ∑(𝑗𝜔)𝑊𝐺 𝑇 (𝑗𝜔) la décomposition en valeur singulières de 𝐺(𝑗𝜔). Nous avons : 𝑡𝑟[𝐺 𝑇 (𝑗𝜔)𝐺(𝑗𝜔)] = 𝑡𝑟 [∑ (𝑗𝜔) 𝑇 ∑(𝑗𝜔).