Introduction aux textes en cunéiforme choisis
Comme cela a été précisé en introduction, j’ai mené sur les textes en cunéiforme une analyse historique et une analyse historico-épistémologique.
Premièrement, l’analyse historique porte sur le calcul d’aire du carré que l’on trouve sur des tablettes du début du deuxième millénaire avant notre ère. La tablette d’argile « UM 29-15- 192 », qui en fait partie, sera présentée en premier lieu. Dans l’analyse historique, il s’agira d’étudier les «petites variations» : les différentes mesures de longueur choisies dans un corpus plus large d’exercices de calcul d’aire du carré. Les effets de ces valeurs initiales sur les tâches effectuées par les scribes seront analysés.
Je me demanderai s’il est possible d’interpréter ces choix de valeurs numériques en termes de « choix pédagogiques », c’est-à-dire comme ayant des effets que les maîtres auraient tenté de contrôler, sur les apprentissages des élèves. Je travaillerai sur le groupe de huit tablettes similaires d’évaluation de surfaces carrées constitué par Proust . Il s’agit des tablettes CBS 11318, UM 29-15-192, Ni 18, UM 55-21-076, IM 57846, IM 57828, NBC 8082 et NCBT 1913. Les six premières proviennent toutes de Nippur, les deux dernières sont de provenance inconnue. Toutes les tablettes sont de la même période, l’époque paléo-babylonienne (début du deuxième millénaire avant notre ère).
Je présenterai d’abord quelques éléments de contexte sur Nippur à la période paléo-babylonienne . Je détaillerai notamment les systèmes numériques et métrologiques utilisés ainsi que le cursus scolaire . Ensuite je présenterai en détail l’algorithme de calcul d’aire à partir de la tablette UM 29-15-192. Enfin, je détaillerai pour chaque tablette du corpus, les tâches à effectuer par les scribes pour calculer les aires, afin d’étudier les effets sur ces tâches, des mesures du côté du carré choisies initialement.
Deuxièmement, l’analyse historico-épistémologique débute par la présentation de la tablette « UM 29-15-192 » que j’ai choisie pour les questions qu’elle soulève du point de vue du calcul d’aire dans une situation de bidimensionnalité. Cette tablette a donné lieu à une expérimentation en classe . Après avoir analysé les petites variations dans le corpus de tablettes paléo-babyloniennes similaires, j’ai ensuite choisi d’élargir la sélection à des textes datant d’autres périodes, pour les raisons décrites en introduction . Les tablettes étudiées sont les suivantes : VAT-12-593 datée du troisième millénaire avant notre ère, W 23 291 datée du quatrième siècle avant notre ère et AO 6484 datée du troisième siècle avant notre ère.
Après avoir présenté brièvement le contexte lié à ces sources, et expliqué le calcul d’aire qui y est mené, je réunirai les données les concernant, dans un tableau. Celui-ci me permettra de synthétiser les questions soulevées du point de vue du rôle, dans l’évaluation des aires, de la métrologie, de la conception de l’unité de mesure, du nombre, de la multiplication ou de l’addition, du lien entre grandeur et nombre, de la place des grandeurs dans l’algorithme.
Le cursus scolaire à Nippur
Proust (2007) a proposé une reconstitution du cursus scolaire à Nippur, en fonction d’indices précis trouvés dans les tablettes. C’est sur cette reconstitution que je vais m’appuyer pour certaines hypothèses de mon analyse historique. Le fait que certaines tablettes comportent des mathématiques et du sumérien a été également un point d’appui important pour la reconstitution . En voici le résumé selon la reconstitution de Proust , à partir des tablettes qui ont été retrouvées . En ce qui concerne le sumérien, le cursus élémentaire de Nippur se déroule en plusieurs phases : Les listes élémentaires (syllabaires) permettent l’apprentissage des signes cunéiformes les plus simples. Elles sont suivies de listes de noms propres.
Six listes thématiques énumèrent le vocabulaire sumérien organisé par thèmes […] Chaque liste thématique est composée de 500 entrées en moyenne, et l’ensemble représente plusieurs milliers d’entrées à mémoriser par les jeunes scribes. L’ordre des listes thématiques est à peu près sûr. Six listes acrographiques sont des listes de signes cunéiformes classés principalement selon leur forme, mais ce principe est combiné localement avec des associations phonétiques et thématiques. Le nombre d’entrées des listes acrographiques est comparable à celui des listes thématiques. Deux listes de phrases (modèles de contrats et proverbes) sont les premiers textes sumériens. Leur ordre et leur position à la fin du cursus élémentaire sont sûrs. Quant aux listes et tables métrologiques et numériques, elles ont été insérées à la fin du cursus élémentaire par N. Veldhuis et E. Robson, à des positions légèrement différentes. Pour le niveau avancé, reconstitué dans ses premières étapes, voici la synthèse de Proust : Le cursus de niveau avancé a été reconstitué en partie dans ses premières étapes à Nippur.
Il comprend un premier groupe de 4 hymnes, puis un deuxième groupe de 10 hymnes et mythes ; E. Robson a identifié un troisième groupe de 14 textes incluant 4 compositions Eduba. La place de la langue sumérienne dans l’éducation scribale à Nippur, à une époque où elle a été supplantée comme langue vivante par l’akkadien, est tout à fait particulière. Les archives scolaires de Nippur, en particulier celles de la Maison F, fournissent une part très importante des sources de la littérature sumérienne actuellement connues. Dans la Maison F par exemple, un seul texte littéraire est écrit en akkadien.
Du point de vue mathématique, il était nécessaire de connaître par cœur un certain nombre de listes ou tables, servant ensuite à des calculs plus complexes : listes et tables métrologiques, tables numériques. Ces listes sont : des listes métrologiques : ce sont des énumérations de mesures de capacité, poids, surface et longueur qui permettent d’apprendre les systèmes d’unité de mesure, leur écriture, les facteurs qui les définissent par rapport aux multiples et sous-multiples, les systèmes numériques associés.
des tables métrologiques, qui permettent de transformer les différentes mesures en nombres sexagésimaux positionnels. Ces listes permettent d’introduire la numération sexagésimale positionnelle. les tables numériques (inverses, multiplications, carrés, racines carrées et cubiques).
Comprendre l’utilisation des tables métrologiques dans le calcul d’aire du carré : La tablette UM 29-15-19240
Le cursus des scribes, ainsi que les textes mathématiques servant à comprendre la suite de la discussion, ont été présentés. Je vais maintenant décrire une tablette : UM 29-15-192. Elle est représentative de la série d’exercices à laquelle je m’intéresse. Cette série de tablettes sur l’aire du carré a été choisie principalement pour l’intérêt particulier qu’elle présente dans l’équilibre entre le calcul et les mesures (les mesures de longueur, les mesures d’aires).
Ces-dernières sont exprimées chacune dans des systèmes numériques « non flottants » . J’expliquerai comment un outil particulier permet de passer d’un système numérique à l’autre : les tables métrologiques. Les solutions proposées par la tablette afin d’effectuer un calcul d’aire dans le cadre d’un système métrologique différent du nôtre me paraissent intéressantes. La situation multiplicative choisie, l’aire du carré, est ici liée au cadre particulier de la bidimensionnalité . J’expliciterai comment la tablette questionne la représentation des objets mathématiques que nous utilisons aujourd’hui (nombre, multiplication, grandeur, mesure, unité de mesure, etc.), à chaque étape de l’algorithme de calcul d’aire. Je reviendrai sur ces éléments , après avoir présenté le texte.
J’utiliserai par la suite les explications données sur cette tablette pour analyser une série d’exercices similaires et les «petites variations» entre ces exercices . Du point de vue de l’enseignement actuel, cette tablette a servi dans l’analyse historico-épistémologique pour constituer une grille d’analyse des manuels scolaires, mais aussi en classe lors de l’expérimentation utilisant l’histoire des sciences.
La transcription, la traduction et la majorité des explications liées à cette tablette cunéiforme sont tirés de Proust . Il est important de noter, comme je le précise en introduction , que j’ai fait le choix d’une interprétation historique pour ce travail. Il en existe d’autres : voir par exemple Robson (2008).
Je vais présenter le texte (photographies et copie de la tablette) et sa traduction, je donnerai une explication du calcul d’aire et résumerai les étapes du calcul puis j’instaurerai le vocabulaire qui sera réutilisé dans l’étude historique des « petites variations » et je ferai le lien entre le calcul d’aire et le système métrologique sous-jacent , dans la perspective de l’analyse historico épistémologique.
Analyse historique : variations numériques dans les tablettes de même type
Dans cette partie, j’analyserai les conséquences en termes de tâches, des différences entre les mesures de longueur choisies (ce que j’appelle les petites variations) dans les autres tablettes de calcul d’aire du carré de même type que UM 29-15-192. Cette démarche a été inspirée par le regard didactique porté sur les textes, ici la notion de variable didactique . Ces notions ne peuvent être directement transposables à l’histoire. J’en dis quelques mots en préalable, en me basant sur la présentation de Perrin-Glorian (2017), lors du séminaire que j’ai organisé entre histoire et didactique sur le thème des petites variations. Ensuite, je préciserai certaines précautions liées à l’interprétation d’un texte historique en termes de choix éducatifs.
Les variables didactiques L’idée de variable didactique est née dans les débuts de la recherche en didactique, dans le cadre de la théorie des situations didactiques (T.S.D) de Brousseau (1998). Le contexte est celui de l’ingénierie, méthodologie créée pour provoquer et/ou observer des phénomènes dans la classe, dans des conditions acceptables pour l’enseignement . L’idée de «situation» y est liée : il s’agit d’une forme d’organisation du travail des élèves, en relation avec un problème à résoudre. Les variables didactiques de cette situation correspondent aux choix qui peuvent être faits, dans les données du problème (par exemple les valeurs numériques), le matériel fourni (calculatrice ou non, instruments de géométrie ou non), l’organisation du travail (en groupe, individuel), etc. Elles rassemblent tous les choix que fait l’enseignant, sur lesquels il peut agir (il ne s’agit pas des contraintes) et qui ont un effet sur les connaissances que les élèves doivent mettre en jeu pour résoudre le problème. Le choix des variables est fait en fonction des connaissances supposées disponibles, des connaissances que l’on veut enseigner, des procédures erronées connues, etc.
En simplifiant, la T.S.D s’est surtout intéressée aux situations permettant d’acquérir un savoir nouveau par l’interaction de l’élève avec un milieu organisé par le professeur. Ainsi le professeur doit traduire le savoir à enseigner en un problème (construire une situation) dans lequel l’élève va devoir mettre en œuvre des connaissances. L’élève apprend en résolvant le problème pour s’adapter au milieu. Le milieu comprend tous les éléments matériels et éventuellement humains, rassemblés par l’enseignant pour que l’élève ait à produire des actions, formulations, preuves, afin d’agir sur ce milieu . Je commenterai en conclusion ce qu’a apporté la notion de variable didactique au travail historique. Quoiqu’il en soit, elle impulse ici le travail d’histoire, poussant à étudier les effets des choix des mesures de longueur du côté.
Les assortiments didactiques Lors de la journée d’étude sur les petites variations, Perrin-Glorian (2017) a eu l’idée de présenter la notion d’assortiment, qu’elle trouvait mieux appropriée aux «petites variations». La notion d’assortiment est née avec la thèse d’Esmenjaud et est liée à l’idée d’entraînement. Je vais la présenter ici et je discuterai en conclusion de la pertinence de cet outil d’observation de l’enseignement pour l’étude historique que j’ai menée.
Esmenjaud a été amenée à introduire l’idée d’assortiment dans le cadre d’une étude sur le travail à la maison des élèves, et à l’aide éventuelle apportée par les parents pour faire ce travail. Les devoirs à la maison se font dans le cadre de l’entraînement, plutôt que des connaissances nouvelles à enseigner. Esmenjaud distingue des niveaux : de la première rencontre à la maîtrise, jusqu’à savoir réutiliser la notion sans aide, dans des problèmes.
Analyse historico-épistémologique : une sélection d’autres textes en cunéiforme
La démarche précédente relève d’une analyse historique inspirée par les outils de didactique. Je vais maintenant réaliser une analyse historico-épistémologique. Il s’agit d’un travail de mise en évidence de la diversité des concepts liés à l’aire : surfaces, unités de mesure, multiplication, nombres, etc. Pour cela j’ai sélectionné des textes en cunéiforme, sur le thème du calcul de l’aire du carré, afin de compléter mon propos. Ces textes proviennent d’autres périodes et d’autres lieux. Cette fois-ci je m’appuierai entièrement sur l’analyse historique qui a été faite au préalable par Christine Proust, pour conduire une analyse motivée par des questions conceptuelles. C’est en ce sens, que j’ai qualifié cette partie d’analyse historico-épistémologique.
Cependant le fait d’analyser une sélection de textes sous l’angle particulier du calcul d’aire pose des questions historiques également, du point de vue des concepts et sur d’autres points que j’exposerai en conclusion. De même, l’analyse historique des petites variations pourrait être exploitée sous l’angle conceptuel à l’avenir.
La tablette UM 29-15-192, de la période paléo-babylonienne (ca. 1900-1600 BCE), sera prise en compte dans la présente démarche. Après l’analyse de cette tablette, différentes questions se posent. Existe-t-il des calculs d’aire dans des situations d’unidimensionnalité, liés plus explicitement au cadre géométrique, dans le contexte d’un système métrologique semi-indépendant ? Qu’est-ce que la présence d’un système métrologique semi-indépendant implique sur les concepts qui entrent en jeu dans l’algorithme de calcul d’aire ? S’intéresser à un texte plus ancien permettrait-il d’avoir accès à une autre forme d’adaptation à un système métrologique semi-indépendant que celle qui a été rencontrée avec la création du système SP ? Cela peut-il informer sur la façon dont l’algorithme de calcul d’aire explicite ou non les objets sur lesquels il opère ?
Est-ce qu’il est possible d’avoir accès à la conversion d’une unité de mesure à l’autre ; et à ses aspects conceptuels ? Peut-on témoigner d’une transformation dans les tâches liées au calcul d’aire, dans un texte plus récent ? Des tâches qui étaient au cœur de l’apprentissage peuvent-elles devenir secondaires ? Quelles sont les conséquences sur les objets mathématiques qui entrent en jeu dans l’algorithme ? Existe-t-il des formes d’utilisation de nombres en système SP qui soient liées au registre des figures, sans être liées explicitement à des mesures ? Qu’est-ce que cela implique conceptuellement, sur les nombres, sur les surfaces ?
Pour tenter de répondre à ces questions, je vais d’abord présenter brièvement les textes choisis ainsi que l’interprétation historique ou les hypothèses sur lesquelles je m’appuierai. Ensuite, je récapitulerai dans un tableau ce que chaque texte a de particulier, au regard des unités de mesure de longueur et d’aire, du système métrologique (semi-indépendant ou non), des nombres qui entrent en jeu (valeurs numériques des grandeurs et nombres sur lesquels porte l’opération). Je regarderai également le type d’opération nécessaire, le lien éventuel avec la géométrie ; la forme que l’on pourrait considérer comme naturelle à l’unité de mesure, si elle était représentée (au regard du système métrologique), le lien entre le système numérique et le système métrologique, l’ordre de grandeur de la surface dont l’aire est mesurée.
Enfin le rôle du diagramme (supposé, car il relève d’hypothèses des historiens) sera étudié également. Je vais m’appuyer sur trois tablettes : une tablette de la période des Dynasties Archaïques (ca. 2700-2500 BCE), de Šuruppak, VAT 12-593125 ; une tablette de la période achéménide (547-331 BCE) provenant d’Uruk, W 23 291 ; et une tablette de la période hellénistique (323-63 BCE) provenant d’Uruk également, AO 6484. Je souligne le fait que j’ai construit les critères d’analyse qui servent de grille d’observation pour ces textes, petit à petit, grâce aux textes et aux allers-retours avec les lectures de didactique. Cette élaboration de critères pas à pas constitue je crois, l’essence de mon travail d’épistémologie.
Table des matières
CHAPITRE I – ANALYSE HISTORIQUE ET EPISTEMOLOGIQUE
1 INTRODUCTION
1.1 Plan du chapitre
1.2 Historique chronologique de la recherche
1.2.1 Première étape de sélection
1.2.2 Deuxième étape de sélection
1.2.3 Troisième étape : analyse historique
1.2.4 Résumé des étapes : équilibre didactique et historique selon les sources
1.3 Détails sur la démarche adoptée pour les sources en cunéiforme
2 LES TEXTES ANCIENS EN CUNEIFORME
2.1 Introduction aux textes en cunéiforme choisis
2.1.1 Introduction
2.1.2 Contexte historique
2.1.3 Le système numérique SP : comprendre grâce à une tablette
2.1.4 Le cursus scolaire à Nippur
2.2 Comprendre l’utilisation des tables métrologiques dans le calcul d’aire du carré : La tablette UM 29-15-192
2.2.1 Introduction
2.2.2 Le texte
2.2.3 La traduction (d’après Proust, 2007, p.193)
2.2.4 Commentaire : observation guidée
2.2.5 Résumé des étapes du calcul
2.2.6 Notion de tâche, tâches principales
2.2.7 Système métrologique sous-jacent et implications
2.3 Analyse historique : variations numériques dans les tablettes de même type
2.3.1 Introduction
2.3.2 Description des tâches en fonction de la mesure de longueur choisie
2.3.3 Détails pour chaque tablette de Nippur
2.3.4 Tableau récapitulatif pour chaque tablette
2.3.5 Récapitulatif des tâches et sous-tâches
2.3.6 Le corpus hors Nippur
2.3.7 Conclusion et liens avec la didactique
2.4 Analyse historico-épistémologique : une sélection d’autres textes en cunéiforme
2.4.1 Introduction à la démarche
2.4.2 La tablette VAT 12-593
2.4.3 La tablette W 23-291
2.4.4 La tablette AO 6484
2.4.5 Tableau comparatif des concepts entrant en jeu dans les textes cunéiformes des différentes périodes
3 CONCLUSION DU CHAPITRE
3.1 Conclusion épistémologique
3.2 Conclusion historique
3.2.1 Conclusion de l’analyse historique des petites variations
3.2.2 Conclusion de l’analyse historico-épistémologique, du point de vue historique
4 OUVERTURE VERS LE CHINOIS ET LE SANSKRIT
4.1 Ouverture vers l’aire du rectangle en chinois et sanskrit
4.1.1 L’extrait des Neuf Chapitres (Chemla et Guo 2004, p.153-155)
4.1.2 L’extrait de Yang Hui
4.1.3 L’extrait du commentaire de Bhāskara sur le chapitre mathématique de l’Āryabhaṭīya
4.1.4 Tableau d’analyse historico-épistémologique
4.2 Notes sur d’autres situations multiplicatives (cunéiforme, chinois, sanskrit)
4.2.1 Un tableau comparatif des concepts dans diverses situations multiplicatives
4.3 Conclusion pour cette ouverture vers des exemples tirés de sources en chinois, sanskrit et cunéiforme
CHAPITRE II – ANALYSE DIDACTIQUE PREALABLE A L’EXPERIMENTATION EN CLASSE
1 INTRODUCTION
1.1 Situation du présent chapitre dans ma démarche, du point de vue de l’expérimentation en classe
1.2 Autres objectifs du présent chapitre
1.3 Plan et méthodologie
2 INTRODUCTION DE L’AIRE DU CARRE ET DU RECTANGLE EN CM² DANS LES
PROGRAMMES ET CERTAINS MANUELS DE CM2
2.1 Etat des lieux : programmes et manuels
2.1.1 Les grandeurs dans les recommandations officielles
2.1.2 L’aire du carré et du rectangle : la grille
2.1.3 Travail précédent l’introduction de la formule, dans les manuels de CM2
2.1.4 Introduction du centimètre carré (cm²)
2.1.5 Introduction de la formule
2.2 Reformulation des questions issues de l’analyse historico-épistémologique
3 LES TRAVAUX DE REFERENCE EN DIDACTIQUE
3.1 Les travaux de recherche en didactique
3.1.1 Le changement de registre, le changement de cadre
3.1.2 Les travaux sur l’aire
3.1.3 Les travaux sur la mesure
3.1.4 Le symbolisme
3.2 Le savoir de référence à enseigner
3.2.1 Découpage-recollement, aires et calculs avec unités
3.2.2 Le problème mathématique de la mesure
3.2.3 Mesure, monde des nombres et monde des expériences : la constante « k »
4 ANALYSE CROISEE AVEC LA PARTIE HISTORICO-EPISTEMOLOGIQUE ET PREMIERES
CONCLUSION
4.1 Réponse aux questions issues de l’analyse historico-épistémologique dans les travaux actuels de recherche en didactique
4.2 Croisement des résultats de l’analyse historico-épistémologique et des travaux de recherche en didactique
4.3 Critères retenus pour l’analyse des manuels scolaires
5 ANALYSE DES MANUELS SCOLAIRES DE CM2
5.1 Manuels scolaires analysés
5.2 Analyse synthétisée
5.2.1 Présentation de l’unité de mesure d’aire
5.2.2 Introduction de la formule
5.3 Conclusion de l’analyse des manuels scolaires
5.3.1 L’unité de mesure d’aire
5.3.2 La transition entre « grille » et formule
5.3.3 La conception du nombre, la lettre
5.4 Ouverture sur ces premières conclusions
CHAPITRE III – EXPERIMENTATION EN CLASSE
1 INTRODUCTION
1.1 Travaux de référence : utilisation de l’histoire des sciences pour l’enseignement
1.1.1 Observer des difficultés liées à l’épistémologie
1.1.2 Donner accès à la profondeur des concepts
1.1.3 Travailler sur la nature des sciences
1.1.4 Utilisation de l’histoire en classe
1.2 Choix de l’approche historique et expérimentale
1.2.1 Hypothèses, choix méthodologiques et précaution
1.2.2 Choix du lycée et de l’option
1.2.3 Choix du texte ancien
1.2.4 Choix du niveau et d’une tablette « brute »
1.2.5 Implications liées au contexte
1.2.6 Organisation des séances « Mésopotamie » et expérimentation.
1.2.7 Contraintes disciplinaires et choix
1.2.8 Niveau des groupes
2 ANALYSE A PRIORI
2.1 Les effets attendus a priori
2.1.1 La tablette cunéiforme UM 29-15-192
2.1.2 Les questions écrites
2.2 Les entretiens et le protocole commenté
3 LES SEANCES EN CLASSE
3.1 Les séances d’introduction
3.1.1 Introduction générale à l’option Histoire des Sciences
3.1.2 Introduction historique à la Mésopotamie
3.2 Les séances Mésopotamie qui précèdent l’expérimentation : séances 1, 2, et 3
3.2.1 Séance 1
3.2.2 Séance 2
3.2.3 Séance 3
3.3 La séance 4 : expérimentation
3.4 Programme annuel
4 ANALYSE A POSTERIORI
4.1 Introduction
4.2 Les résultats écrits à l’exercice « k »
4.2.1 Résultats principaux
4.2.2 Autres remarques
4.2.3 Conclusions
4.3 Les résultats des entretiens
4.3.1 Synthèse des résultats : partie « mathématiques actuelles »
4.3.2 Partie « nature des sciences » (historique, mathématique)
4.3.3 Extraits de dialogues
4.3.4 Conclusion
5 CONCLUSION DE LA THESE
1 RESULTATS : LES CONCEPTS LIES AUX UNITES DE MESURE DANS LE CALCUL D’AIRE
ET LEUR ENSEIGNEMENT
1.1 Conclusion historico-épistémologique
1.2 Conclusion croisée avec l’analyse didactique
1.3 Conclusion de l’analyse des manuels scolaires
1.4 Conclusion de l’expérimentation en classe du point de vue mathématique
2 APPORTS RECIPROQUES DE LA DIDACTIQUE ET DE L’HISTOIRE DES SCIENCES : RESULTATS ET PERSPECTIVES
2.1 Apports pour l’histoire
2.1.1 L’analyse historique des petites variations
2.1.2 L’analyse historico-épistémologique : intérêt pour l’histoire
2.2 Apports pour la didactique
2.2.1 Au niveau de la recherche
2.2.2 L’expérimentation en classe
3 OUVERTURE : METHODOLOGIE ET PERSPECTIVES
3.1 L’analyse historique et épistémologique
3.2 L’analyse préalable
3.3 L’analyse de manuels
3.4 L’expérimentation en classe
