Physique et modélisation numérique d’un plasma basse pression

Un plasma est un ensemble de particules chargées et neutres

La modélisation d’un plasma consiste donc en l’étude des interactions de particules chargées sous l’effet de la combinaison du champ électromagnétique qu’elles génèrent et d’un champ électromagnétique externe. En effet, chaque particule chargée générant un champ électromagnétique en tout point de l’espace, la modélisation complète du plasma nécessite la résolution de l’équation du mouvement propre à chaque particule sous l’effet de la combinaison de l’ensemble des champs créés et éventuellement d’un champ extérieur.

Cette description en principe exacte reste néanmoins hypothétique à ce jour du fait du nombre excessivement important de particules (> 1010) constituant un plasma, le simple stockage des conditions initiales de chaque particule étant déjà bien au delà des capacités actuelles. Néanmoins cette description microscopique est intéressante d’un point de vue formel, puisqu’elle est à la base de modèles plus fonctionnels.

Des modèles microscopiques aux modèles cinétiques

Description microscopique De manière classique, l’état d’une particule peut ˆetre décrit de manière satisfaisante par ses six composantes (r, p = mv) dans l’espace des phases. L’état d’un système constitué de N particules peut ainsi ˆetre caractérisé par un jeu de coordonnées dans l’espace Γ = {r1, . . . , rN , p1, . . . , pN } de dimension 6N. On note F(r1, . . . , rN , p1, . . . , pN , t)d 3 r1 . . . d3 rN d 3p1 . . . d3pN (2.1) la probabilité pour un tel système de se trouver dans l’état (r1, . . . , rN , p1, . . . , pN ) à l’instant t.

Soit dΓ un volume de l’espace des phases. Les trajectoires des particules occupant ce volume à l’instant t étant parfaitement connues, il est possible de déterminer le volume dΓ ′ de l’espace des phases occupé par ces particules à un instant ultérieur t ′ . Le théorème de Liouville établit que le volume d’espace des phases occupé par un tel système reste constant au cours du temps, soit dΓ = dΓ ′ .

Equations cinétiques 

La solution la plus radicale consiste à négliger purement et simplement les interactions entre particules, soit B(F12) = 0. Cela conduit à l’équation de Boltzmann sans second membre ∂F1 ∂t (r1, p1) + p1 m · ∂F1 ∂r1 (r1, p1) + F1 · ∂F1 ∂p1 (r1, p1) = 0. (2.17)  23 Ce modèle, bien que décrivant convenablement l’évolution d’un ensemble de particules chargées sous l’effet d’un champ électromagnétique extérieur, a une portée relativement limitée.

En effet dès lors que la densité est suffisante pour induire une modification du champ électromagnétique externe, les interactions entre particules ne sont plus négligeables, et la relation de fermeture ne décrit alors plus convenablement le système. Dans le cas o`u le champ électrique de charge d’espace est non négligeable, la solution la plus simple consiste à supposer les corrélations entre particules nulles, soit : F12(r1, r2, p1, p2) = F1(r1, p1)F1(r2, p2) (2.18)

En reportant (2.18) dans (2.16), on obtient B(F12) = −q1E ′ 1 · ∂F1 ∂p1 (2.19) o`u E′ 1 est le champ de charge d’espace défini par E ′ 1 = − Z n2(r2, t) ∇  1 4πε0 q1q2 r12  dr2 (2.20) avec n2(r2, t) = Z F1(r2, p2)dp2 (2.21) la densité obtenue par intégration de F1 sur l’espace des vitesses. La réécriture de (2.15) moyennant (2.19) conduit à l’équation de Vlasov : ∂F1 ∂t (r1, p1) + p1 m1 · ∂F1 ∂r1 (r1, p1) + q1(E1 + E ′ 1 + p1 m1 × B1) · ∂F1 ∂p1 (r1, p1) = 0. (2.22) L’hypothèse de décorrélation (2.18) utilisée comme relation de fermeture implique une modélisation dite de « champ moyen » :

les interactions entre particules sont approximées par un champ moyen E′ 1, une particule n’étant sensible aux effets des (N − 1) autres particules qu’au travers de ce champ moyen. Le champ E′ 1 étant lui mˆeme fonction de la fonction de distribution F1, le problème est dit « d’auto-cohérence » dans la mesure o`u la solution F1 de (2.22) obtenue pour le champ E′ 1 doit redonner ce mˆeme champ une fois reportée dans (2.20).

Un tel modèle de champ moyen rend ainsi correctement compte des effets collectifs mais pas des interactions binaires à courte distance. Ce modèle permet toutefois de décrire de manière satisfaisante un plasma non collisionnel, pour lequel les interactions collectives intervenant aux échelles supérieures à la longueur de Debye λD jouent un rˆole plus important que les interactions binaires. Par ailleurs, les caractéristiques de l’équation de Vlasov (2.22) sont dr1 dt = p1 m1 (2.23) et dp1 dt = q1(E1 + E ′ 1 + p1 m1 × B1)