Phénomènes de couplage magnéto-élastique

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Aspects macroscopiques

Une fois ainsi défini le cadre de cette étude, nous présentons une rapide descrip-tion phénoménologique du comportement magnéto-élastique des matériaux ferroma-gnétiques standards.

Comportement mécanique

Lorsqu’on applique une contrainte sur un matériau, il se déforme. Les grandeurs utilisées pour décrire l’état mécanique sont la contrainte et la déformation E, qui sont des tenseurs d’ordre 2. La loi de comportement qui relie ces deux variables d’état peut s’écrire sous la forme : = Ceﬀ : E (1.1) Cette relation est en général non-linéaire : le tenseur d’ordre 4 Ceﬀ peut dépendre de la déformation, ou de la vitesse de déformation. Dans le cadre de l’élasticité li-néaire, Ceﬀ est une constante. La gamme des déformations envisagées dans ce do-cument étant en général très petite (de l’ordre de 10−3), la restriction a` l’hypothèse de petites perturbations semble largement justifiée. Dans le cas où les sollicitations mécaniques se situeraient dans une gamme plus large, des lois de comportement mé-canique plus élaborées deviennent nécessaires (voir par exemple [Lemaitre et Cha-boche, 1985]). Ce point ne sera que brièvement discuté au chapitre 5.

Comportement magnétique

Quand on soumet un matériau ferromagnétique `a un champ magnétique, il s’ai-mante. Les grandeurs utilisées pour décrire l’état magnétique sont le champ magnétique H, l’induction magnétique B et l’aimantation M . Ces trois grandeurs sont reliées par la relation (1.2) : B=µ0 (H+M) où µ0 désigne la perméabilité du vide : µ0 = 4π10−7 H/m.
La relation de comportement peut donc s’exprimer comme la relation entre le champ magnétique et l’induction : B = µuH où la perméabilité µu est un tenseur d’ordre 2, ou de fa¸con équivalente par la relation : M = H où la susceptibilité est un tenseur d’ordre 2, perméabilité et susceptibilité étant reliées par la relation : µu = µ0 (I + ) (1.5)
Les grandeurs M et B sont en général des fonctions non-linéaires du champ. La définition de µu ou est complexe, et dépend de H. A la diﬀérence du comportement mécanique, les niveaux de champ étudiés impliquent la nécessité de prendre en compte cette non-linéarité. Ceci peut se faire en prenant exemple sur les mo-dèles thermodynamiques développés dans le cadre de la mécanique non-linéaire des matériaux ([Lemaitre et Chaboche, 1985], [Gourdin, 1998], [Gourdin et al., 1998b], [Lemaitre, 2001]).

Phénomènes de couplage magnéto-mécanique

On ne s’est intéressé ci-dessus aux comportements magnétique et mécanique que de fa¸con découplée. Les phénomènes de couplage magnéto-mécanique ont deux manifestations principales : la déformation de magnétostriction (dite de Joule) et l’eﬀet des contraintes sur l’aimantation.

Déformation de magnétostriction

Quand un matériau ferromagnétique est soumis a` un champ magnétique, il se déforme. Cette déformation est associée a` deux phénomènes distincts :
– Les forces d’origine magnétique, provoquées par un gradient d’aimantation, provoquent une déformation purement élastique. Ces forces apparaissent sur les surfaces libres de l’échantillon, mais aussi en volume. Elles sont directement reliées a` la géométrie de l’échantillon et provoquent un ”eﬀet de forme” sur les mesures de magnétostriction ([du Trémolet de Lacheisserie, 1993], [Hirsinger, 1994], [Billardon et Hirsinger, 1995]). Il s’agit d’un couplage global (ou de structure) n’impliquant pas un phénomène de couplage local (ou de matériau). Le niveau en général faible (quelques MPa) de ces forces ne remet pas en cause l’hypo-thèse de petites perturbations.
– Une déformation ”spontanée”, intrinsèque au matériau apparaˆıt également (dé-formation de Joule [Joule, 1847a], [Joule, 1847b]). Cette déformation ne dé-pend que de l’état magnétique du matériau ([du Trémolet de Lacheisserie, 1993], [Brissonneau, 1997]). Elle correspond a` un couplage local d’état. Il est donc possible de lui associer une loi de comportement.
C’est ce deuxième phénomène qui sera appelé magnétostriction dans la suite de ce document. Le comportement magnétostrictif, comme le comportement magné-tique est fortement non-linéaire. L’exploitation des propriétés magnétostrictives de certains matériaux dits a` ma-gnétostriction géante permet la fabrication de capteurs et d’actionneurs magnétos-trictifs. L’ordre de grandeur de la déformation de magnétostriction pour ces maté-riaux (par exemple le Terfenol-D) est de 10−3 [Claeyssen et al., 1997].
La déformation de magnétostriction est également a` l’origine des eﬀets INVAR et ELINVAR pour certaines nuances d’alliages de nickel [Guillaume, 1897], dont certaines caractéristiques (déformation, modules élastiques) ne dépendent pas de la température (voir par exemple [Béranger et al., 1996] pour plus de détails).
L’existence de la déformation de magnétostriction permet également d’expliquer l’eﬀet ΔE, qui correspond a` une apparente perte de linéarité dans le comportement élastique des échantillons magnétiques désaimantés [Bozorth, 1951], [Carr, 1969]. Cet eﬀet s’explique par la superposition de la déformation de magnétostriction (qui dépend de la contrainte) a` la déformation élastique lors de l’acquisition des déforma-tions au cours d’un essai mécanique (voir figure 1.1). On retrouve un comportement linéaire quand la contrainte appliquée devient suﬃsamment élevée aimanté à saturation σ désaimanté ε µ ε
Enfin, la déformation de magnétostriction est une des sources – avec l’eﬀet des forces magnétiques – du bruit émis par les machines électriques ([Brissonneau, 1997], [Weiser et al., 2000]).

Eﬀet d’une contrainte sur le comportement magnétique

Le phénomène symétrique de la déformation de magnétostriction est l’eﬀet des contraintes sur le comportement magnétique. En eﬀet, l’application d’une contrainte modifie considérablement le comportement magnétique. Ainsi, dans le cas du Nickel, une contrainte de compression uniaxiale de 70 MPa multiplie par deux la perméabilité initiale (pente a` l’origine de la courbe B(H)) et une traction uniaxiale du mˆeme niveau la divise par 10 ([Cullity, 1972]). L’eﬀet d’une contrainte uniaxiale est inverse dans le cas du permalloy-68 (68%Ni-Fe). Le comportement du fer est plus complexe (voir figure 1.2).
Une contrainte de traction entraˆıne une augmentation de la perméabilité pour des champs magnétiques faibles, mais une chute pour des niveaux de champ magnétique plus élevés. Ce phénomène est appelé eﬀet Villari. Une contrainte de compression conduit en revanche généralement a` une chute de la perméabilité. Dans tous les cas, l’influence sur le comportement magnétique de l’application d’une contrainte n’est pas symétrique en traction et compression. L’apparition de plasticité conduit a` une dégradation encore plus nette des pro-priétés magnétiques ([Bozorth, 1951], [Degauque, 1985], [Hubert, 1998]).

Aspects microscopiques

La connaissance de la loi de comportement macroscopique ne suﬃt pas a` définir l’état mécanique en un point donné du matériau. La plupart des matériaux sont en eﬀet de nature hétérogène, ce qui conduit a` une hétérogénéité des propriétés, de l’état de contrainte, de déformation, d’aimantation et de champ. Il peut donc dans ce cas ˆetre utile de définir le comportement du matériau a` une échelle plus fine, qui correspond ici a` l’échelle microscopique.

Comportement mécanique

Dans le cas des propriétés mécaniques, il est possible de définir des zones du matériau où l’hétérogénéité des propriétés mécaniques est beaucoup plus faible que pour le matériau dans son ensemble. Il s’agit par exemple des grains dans un poly-cristal. Dans ces zones, la relation de comportement est supposée uniforme et peut s’écrire : I=CI: I (1.6)
En raison des orientations cristallographiques variables d’un grain a` l’autre du polycristal, le tenseur CI est diﬀérent d’un grain `a l’autre.
L’un des objectifs de l’homogénéisation consiste, `a partir de la relation (1.6) et d’hypothèses sur la microstructure, `a définir le milieu homogène équivalent (MHE), c’est `a dire le tenseur d’élasticité Ceﬀ qui vérifie la relation (1.1), en l’absence de sollicitations autres que mécaniques.

Comportement magnétique

De la mˆeme fa¸con que pour le comportement mécanique, les grandeurs magné-tiques au sein d’un matériau sont elles aussi hétérogènes.
L’observation assez fine d’un matériau magnétique permet de mettre en évidence l’existence de régions où l’aimantation est uniforme : ce sont les domaines magné-tiques ([Hubert et Schafer,¨ 1998],[Brissonneau, 1997]) ou domaines de Weiss (figure 1.3).
Chacun de ces domaines présente une aimantation uniforme, de norme Ms, ca-ractéristique du matériau. D’un domaine a` l’autre, la norme de l’aimantation ne varie pas, mais sa direction en revanche change. Les zones de transition entre deux domaines, où la direction de l’aimantation varie progressivement sur quelques di-zaines de distances interatomiques sont appelées parois magnétiques. En général, la diﬀérence d’orientations cristallographiques entre deux grains adjacents est telle que les parois magnétiques ne peuvent traverser les joints de grain. La structure en domaines magnétiques est alors une sous-structure de la structure en grains, et la séparation d’échelles entre ces deux structures est souvent assez nette. Cependant, dans le cas de matériaux très fortement texturés, où les désorientations de grains a` grains sont très faibles, il arrive qu’une paroi magnétique traverse un joint de grain – cas des tˆoles dites a` grains orientés (GO). La distinction des échelles mises en jeu est alors beaucoup plus contestable.
A l’échelle du groupement d’atomes, l’état d’équilibre magnétique peut s’expli-quer par la compétition de diﬀérents termes énergétiques. A cette échelle, l’énergie libre peut s’écrire ([Hubert et Schafer,¨ 1998]) :
W = Wech + Wan + Wmag + Wσ (1.7)
– Wech désigne l’énergie d’échange.
– Wan désigne l’énergie d’anisotropie magnétocristalline.
– Wmag désigne l’énergie magnétostatique.
– Wσ désigne l’énergie magnéto-élastique.

Energie d’échange

L’énergie d’échange correspond a` l’eﬀet de couplage ferromagnétique entre atomes voisins qui tend a` rendre uniforme l’aimantation. Elle s’écrit ([Hubert et Schafer,¨ 1998]) : Wech = A (grad~γ)2 (1.8) où A est la constante d’échange, caractéristique du matériau, et ~γ un vecteur unitaire dans la direction de l’aimantation : ~ t [γ1,γ2,γ3] , 2 2 2 = 1 (1.9) M = Ms ~γ = Ms avec γ1 + γ2 + γ3
L’énergie d’échange est minimale quand les variations spatiales de la direction de l’aimantation sont faibles.

Energie d’anisotropie magnétocristalline

L’énergie d’anisotropie magnétocristalline tend a` aligner l’aimantation suivant certaines directions particulières dites directions de facile aimantation. Ces direc-tions faciles sont principalement liées a` la structure cristallographique. Dans le cas d’un matériau a` structure cristallographique cubique, l’énergie d’anisotropie magné-tocristalline peut s’écrire ([Hubert et Schafer,¨ 1998]) : Wan = K1(γ12γ22 + γ22γ32 + γ32γ12) + K2(γ12γ22γ32) (1.10) où K1 et K2 désignent les constantes d’anisotropie magnétocristalline, caracté-ristiques du matériau. Dans le cas du fer, de structure cubique centrée, l’aimantation s’alignera sur un axe <100> du cristal (K1 > 0). Dans le cas du nickel, de structure cubique a` faces centrées, les directions faciles sont les directions < 111 > (K1 < 0).
L’énergie magnétocristalline est minimale quand ~γ est aligné avec un axe de fa-cile aimantation.
La figure 1.4 donne la représentation spatiale de cette énergie pour le fer et le nickel. Il convient de noter les signes opposés de Wan pour ces deux matériaux et les variations beaucoup plus importantes dans le cas du fer que dans celui du nickel.

Processus d’aimantation

En l’absence de champ magnétique, l’aimantation s’aligne spontanément suivant les directions de facile aimantation. L’existence de plusieurs directions faciles ex-plique la formation de structures en domaines.
Lorsqu’on applique un champ magnétique, deux mécanismes d’aimantation dis-tincts apparaissent : l’équilibre magnétique est modifié par mouvement des parois magnétiques, c’est `a dire par changement de taille des domaines, et par rotation de l’aimantation `a l’intérieur des domaines (voir figure 1.5). Dans le cas des matériaux `a forte anisotropie magnétocristalline, les mouvements de parois sont prédominants pour les champs faibles et les rotations d’aimantation dans les domaines apparaissent pour des champs magnétiques plus intenses.
L’état désaimanté désigne une configuration pour laquelle, en l’absence de champ extérieur, l’aimantation macroscopique est nulle, c’est a` dire que la distribution d’ai-mantation dans le matériau est telle que la moyenne des aimantations est nulle. C’est la situation représentée sur le premier schéma de la figure 1.5 (avec dans chaque do-maine une aimantation uniforme de norme Ms).
Il est possible de mettre schématiquement en parallèle les mécanismes locaux de mouvements de parois et de rotations avec le processus d’aimantation vu a` l’échelle macroscopique. C’est ce qu’illustre la figure 1.6 dans le cas des matériaux a` forte anisotropie magnétocristalline.
Pour les matériaux a` forte anisotropie magnétocristalline, le début de la courbe d’aimantation, approximativement linéaire, est principalement dominé par des mé-canismes de mouvement de parois. Le ”coude” de la courbe d’aimantation annonce le début de la rotation de l’aimantation dans les domaines. Cette zone où les deux mécanismes d’aimantation sont superposés est la plus délicate a` modéliser, notam-ment en raison de sa forte non-linéarité. C’est également la zone la plus intéressante d’un point de vue pratique, puisqu’on peut y obtenir une aimantation très forte sans toutefois avoir recours a` des champs magnétiques trop intenses. Le point de fonc-tionnement des machines électriques se trouve souvent dans ce coude où les deux mécanismes d’aimantation se superposent.

Phénomènes de couplage magnéto-élastique

Les phénomènes de couplage magnéto-élastique sont introduits naturellement par l’énergie magnéto-élastique dans la relation (1.7). La déformation de magnéto-striction est définie par la relation (1.18) et l’eﬀet des contraintes apparaˆıt dans la définition de l’énergie magnéto-élastique (équation (1.16)). L’échelle microscopique est donc a priori une échelle pertinente pour la description des phénomènes de cou-plage magnéto-élastique.

Notion de comportement macroscopique an-hystérétique

Le comportement magnétique macroscopique des matériaux ferromagnétiques est fondamentalement irréversible. Pour des faibles vitesses d’excitation magnétique, cette irréversibilité est essentiellement liée `a l’accrochage des parois des domaines magnétiques sur les défauts du matériau. Pour des vitesses d’excitation magnétique plus élevées, les courants de Foucault induits par les variations de champ magnétique constituent une source supplémentaire de dissipation et donc d’hystérésis.
Le matériau initialement désaimanté s’aimante suivant la courbe dite de pre-mière aimantation. Aux champs très faibles, dans le domaine dit de Rayleigh, le mécanisme d’aimantation correspond a` un ”gonflement” des parois 1 ancrées sur des défauts (joints de grain, inclusions). Le déplacement d’ensemble de ce parois inter-vient ensuite, et pour des champs plus intenses, le mécanisme de rotation apparaˆıt. L’apparition de ces mécanismes correspond a` des points d’inflexion sur la courbe de première aimantation. Si l’on diminue l’intensité du champ, le matériau se désai-mante, mais suivant un autre chemin. Il se forme un cycle d’hystérésis. La valeur de l’aimantation dans un matériau pour une valeur de champ dépend donc de son histoire. Ce cycle d’hystérésis dépend également de la vitesse d’excitation magné-tique. On peut imaginer une sollicitation quasi-statique et un matériau idéal dont la configuration d’équilibre serait atteinte en dépassant les obstacles énergétiques que constituent les défauts. La courbe d’aimantation d’un tel matériau, non linéaire mais réversible, est appelée courbe anhystérétique (figure 1.7).

Table des matières

Introduction
1 Introduction au comportement magnéto-élastique
1.1 Cadre de l’étude
1.2 Aspects macroscopiques
1.2.1 Comportement mécanique
1.2.2 Comportement magnétique
1.2.3 Phénomènes de couplage magnéto-mécanique
1.3 Aspects microscopiques
1.3.1 Comportement mécanique
1.3.2 Comportement magnétique
1.3.3 Phénomènes de couplage magnéto-élastique
1.4 Notion de comportement macroscopique anhystérétique
1.5 Différentes échelles d’observation et de modélisation
2 Transitions d’échelles en magnéto-élasticité
2.1 échelle du domaine magnétique
2.1.1 énergie libre d’un domaine magnétique
2.1.2 Choix et calcul des variables d’état
2.2 échelle du monocristal
2.2.1 Modélisation schématique
2.2.2 Choix des variables d’état
2.2.3 Modèle microscopique
2.2.4 Conclusion
2.3 échelle du polycristal
2.3.1 Comportement mécanique
2.3.2 Comportement magnétique
2.3.3 Eets couplés
2.3.4 Conclusion
2.4 Effets macroscopiques
2.4.1 Eet de surface
2.4.2 Eets liés au procédé de fabrication
2.4.3 Eets de géométrie
2.5 Conclusion
3 Identification des paramètres du modèle et premiers essais de validation
3.1 Propriétés du monocristal
3.1.1 Données bibliographiques
3.1.2 Identification des coeffecients élastiques
3.2 Identification du paramètre As
3.2.1 Cas du monocristal
3.2.2 Cas du polycristal
3.3 Propriétés du polycristal
3.4 Mise au point d’essais de validation macroscopiques
3.4.1 Caractérisation des propriétés mécaniques
3.4.2 Caractérisation des propriétés magnétiques
3.4.3 Caractérisation des propriétés magnéto-élastiques
3.5 Premières comparaisons modèle-essais
3.5.1 Comportement mécanique
3.5.2 Comportement magnétique
3.5.3 Comportement magnéto-élastique
3.6 Conclusion
4 Autres sources d’anisotropie
4.1 Champ démagnétisant
4.1.1 Principe
4.1.2 Résultats
4.2 Eet de surface
4.2.1 Principe
4.2.2 Application au monocristal de fer
4.2.3 Application au polycristal
4.3 Eet des contraintes résiduelles
4.3.1 Comportement sous contraintes du monocristal
4.3.2 Passage au polycristal
4.4 Conclusion
5 Quelques applications
5.1 Application du modèle multi-échelle à d’autres aciers électriques
5.1.1 Comportement des t^oles à grains orientés
5.1.2 Comparaison de trois nuances d’aciers électriques NO
5.2 Effet de la multiaxialité de l’état de contraintes
5.2.1 Comportement magnétique sous sollicitations biaxiales
5.2.2 Diérentes propositions de contraintes équivalentes
5.2.3 Conclusion
5.3 Influence de la plasticité sur le comportement magnétique
5.3.1 Modélisation de la plasticité
5.3.2 Application au Fe-3%Si
5.3.3 Modélisation du comportement magnétique
5.3.4 Modélisation du comportement magnéto-élastique
5.3.5 Conclusion
Conclusion – Perspectives
Bibliographie
Annexes
A Détermination du tenseur d’Eshelby dans le cas d’un milieu de référence orthotrope
A.1 Introduction
A.2 Opérateur de Green
A.3 Tenseur d’Eshelby
B Cas particulier du polycristal isotrope de fer pur
B.1 Introduction
B.2 Quelques solutions analytiques dans le cas isotrope
B.2.1 Comportement élastique macroscopique
B.2.2 Déformation de magnétostriction à saturation
B.2.3 Déformation de magnétostriction maximale
B.3 Dénition d’une texture isotrope
B.3.1 Tirage aléatoire des orientations cristallographiques
B.3.2 Discrétisation des orientations cristallographiques
B.4 Application du modèle dans le cas isotrope
B.4.1 Comportement élastique macroscopique
B.4.2 Déformation de magnétostriction à saturation
B.4.3 Comportements magnétique et magnétostrictif
C Algorithme de calcul et sensibilité du modèle aux données d’entrée
C.1 Algorithme de calcul
C.1.1 Données d’entrée
C.1.2 Dénition des propriétés élastiques
C.1.3 Modélisation multi-échelle
C.1.4 Critère de convergence
C.1.5 Temps de calcul
C.2 Etude paramétrique
C.2.1 Caractéristiques du monocristal
C.2.2 Paramètre As
C.2.3 énergie de surface maximale Ns
C.2.4 Nombre de grains