Phénomène de propagation pour un milieu homogène et isotrope 

Ondes acoustiques

L’onde acoustique est en fait une conséquence d’un mouvement vibratoire d’un corps. Prenons l’exemple d’une corde élastique ou d’une membrane d’un haut-parleur. En effet, la vibration d’un corps provoque le mouvement des atomes du milieu de propagation.
Ce qui va donner naissance à un ébranlement sinusoïdal. Cet ébranlement se transmet sous forme d’une vibration longitudinale allant de la source vers le récepteur. C’est l’onde acoustique.
L’onde acoustique est une onde progressive longitudinale [8]. En effet, parmi les ondes de nature mécanique, seules les ondes longitudinales peuvent se propager relativement loin dans un milieu fluide. Ce qui nous permet, entre autres d’entendre ce que notre interlocuteur nous dit. Dans un milieu solide, l’onde sonore peut être une onde transversale.
Ceci est dû aux forces de cisaillement mais nous n’aborderons pas cet aspect.
Le son est une onde sinusoïdale périodique et le mouvement des atomes est représenté comme suit.

Les phénomènes de propagation 

L’onde sonore peut subir des phénomènes d’absorption, de réflexion et de transmission lors de sa propagation. Nous allons voir les caractéristiques de ces phénomènes.

L’absorption

La propagation d’une onde s’accompagne souvent d’un phénomène d’absorption. Cet aspect signifie une perte d’énergie qui dépend à la fois de la fréquence de l’onde qui se propage, de la température du milieu de propagation et de la distance parcourue par l’onde au cours de la propagation. Il se produit au niveau des parois (Mur, Plafond,..) et au cours de sa propagation à travers l’air [5].
Comme les molécules gazeuses ne sont pas liées, ils sont capables de se mettre en mouvement.
L’absorption dans l’air s’explique par l’échange d’énergie entre l’onde et les molécules les moins actives de l’air. Cette perte d’énergie se traduit par la diminution exponentielle de l’intensité de l’onde.

La transmission

Le phénomène de transmission est un phénomène très important dans l’étude de l’onde acoustique.
Cette transmission acoustique peut se produire de deux façons bien distinctes [5]:
• La transmission directe : que nous rencontrons lors de la propagation des ondes à travers une paroi et lors de la diffraction des ondes sonores à travers les pores et les fissures dans les matériaux de construction.
• La transmission des ondes de compression qui sont des ondes longitudinales. En effet, lors d’une compression, un milieu élastique produit des ondes sonores.
On peut noter que si l’incidence est normale(Figure 3), l’onde qui se propage dans le solide sera uniquement une onde de compression notée aussi onde P. Mais si l’incidence n’est plus normale (Figure 4), la déformation induite correspondra à la fois à un cisaillement et à une compression.
Chacun de ces deux types d’onde se propage dans le milieu élastique avec des vitesses différentes [7].
Pour la formulation mathématique du problème, nous allons d’abord définir le milieu de propagation puis nous rappellerons le phénomène de propagation pour pouvoir déterminer le coefficient de transmission lors de la propagation.

Milieu homogène et isotrope

Un milieu élastique est dit « Homogène» et « Isotrope» quand il possède les mêmes propriétés physiques partout et que celles-ci restent inchangées dans toutes les directions de l’espace.
En générale, un milieu homogène est nécessairement isotrope.

Hypothèses 

1) Considérons une onde acoustique qui se propage, avec un angle d’incidence normale, dans un milieu élastique supposé homogène et isotrope.
En effet, nous pouvons prendre des ondes incidentes avec un angle d’incidence β , mais ce sont les ondes normales au plan d’incidence qui sont à privilégier [2].
Les tableaux suivants donnent les valeurs de la célérité du son dans quelques matériaux [5]et les valeurs de la masse volumique des matériaux [7].
• Les masses volumiques données en kg.m3 −
• La célérité mesurée en m.s1 −

Conditions sur le domaine d’étude

Pour ce milieu fissuré, le domaine est constitué d’une association ou d’une juxtaposition de deux ou plusieurs milieux différents, de propriétés physiques différentes. Mais pour simplifier les calculs,nous allons supposer que chaque stratification est homogène et isotrope. C’est-à-dire que chaque milieu possède les mêmes propriétés dans toutes les directions.
A ce moment là, la structure se comporte comme un milieu stratifié dont la couche intermédiaire est encastrée entre les deux autres milieux M 2 et M 4 .
Pour pouvoir résoudre le problème, il faut que :
•L’épaisseur ‘ e du milieu 3 M soit différent de zéro ( ‘ e 0 ≠ )
•1 0 f ; 2 e 0 f sinon la fissure est observable de l’extérieur
• le milieu 2 M possède les mêmes paramètres que 4 M donc ils ont même vecteur d’onde ‘ 1 k . La célérité de l’onde dans ces deux milieux est égale à ‘ 1C .

Calculs

Le domaine se ramène à la composition de trois sous domaines homogènes et isotropes :
• Le domaine limité par la surface plane ( ∑ ) et la surface plane ( ) 1 Γ
• Le domaine limité par la surface plane ( ) 1
Γ et la surface plane ( ) 2 Γ
• Le domaine limité par la surface plane ( ) 2
Γ et la surface plane ( ∑ ’) Par analogie avec le calcul de coefficient de transmission dans un milieu homogène et isotrope, nous devrions avoir, après les calculs, des systèmes d’équations que l’on peut mettre sous forme matricielle.

L’épaisseur de la couche étudiée

Le coefficient de transmission varie aussi en fonction de l’épaisseur de la couche.
En faisant la même expérience que précédemment mais dans le cas d’une onde de fréquence f = 100 Hz se propageant dans des milieux homogènes et isotropes, la variation du coefficient de transmission en fonction de l’épaisseur eest illustrée par la figure 10ci-après:
En effet, en diffusant une onde acoustique d’amplitude incidente i U r à travers le milieu étudié, nous pouvons dire que l’amplitude de l’onde transmise t U r dépend de la nature du milieu. Et avec la relation i t U U T = , le coefficient de transmission varie selon les caractéristiques du milieu.
Si le milieu est fissuré, alors l’onde incidente subit des multiples réflexions. Elle se comporte comme un milieu stratifié. Alors, l’amplitude transmise diminue. Si nous connaissons les coefficients de transmission en chaque point du milieu, alors nous pouvons expliciter la forme approchée de la fissure en regroupant les zones de faible coefficient de transmission.
Si l’onde incidente est de faible amplitude, nous ne pouvons pas déterminer l’existence de la fissure car l’élongation incidente est divisée en élongation réfléchie en premier temps puis les restes sont transmis. Mais par l’effet des multiples réflexions à l’intérieur de la structure, les élongations transmises ne sont pas différentiables.
Quand une onde acoustique se propage dans un milieu, il y a transport d’énergie.
L’amplitude de l’onde et sa fréquence sont en relation avec cette énergie. Par conséquent, l’amplitude d’une onde acoustique est liée à la puissance acoustique P (mesurée en Watt).
En pratique, on utilise le plus souvent la puissance sonore P dont nous déduisons l’intensité I, mesurée en un point d’une surface S.

CALCULS et RESULTATS NUMERIQUES

Au lieu d’utiliser des SONOMETRES, les différentes amplitudes transmises sont simulées et entrées dans le programme par l’intermédiaire d’un fichier « Input». Le résultat de la simulation est représenté directement sous forme d’un graphe.
La méthode utilisée dans ce travail est la méthode d’interpolation nodale, qui est une méthode basée sur la discrétisation de la structure en plusieurs mailles. L’élément de référence est un élément QUADRILATERE LINEAIRE. C’est un élément de référence rectangulaire à 02 dimensions et à 04 nœuds

ALGORITHME

Présentation de l’élément de référence 

Forme géométrique : rectangulaire
Dimension : dm = 2 : élément QUADRILATERE
Précision géométrique : nd = 4 : élément LINEAIRE à 4 nœuds
• Problèmes à résoudre :
Détermination de la fonction d’interpolation nodale
Modélisation de la forme de la fissure

Notations 

n1: nombres de divisions suivant l’axe (ox) de l’échelle graphique
n2: nombres de divisions suivant l’axe (oy) de l’échelle graphique nbmailx: nombre de division suivant l’axe (ox) lors de la discrétisation nbmaily: nombre de division suivant l’axe (oy) lors de la discrétisation nd: nombre des nœuds d’interpolation de l’élément de référence donnee.dat: nom du fichier d’initialisation des données

CONCLUSION

En faisant diffuser, avec un angle d’incidence normale, une onde acoustique à travers une structure homogène et isotrope, nous devrons avoir une valeur de l’élongation transmise Uinvariante sur toute la surface du structure. Réciproquement, le fait d’avoir des valeurs de Uconstantes en tout point du milieu nous amène à dire que la structure est sans défauts. Il n’y a pas de fissure. Par ailleurs, si les valeurs recueillies varient, nous pouvons conclure que le milieu présente un défaut et nous avons une fissure.
Ce travail nous donne accès à l’analyse des différents milieux afin d’évaluer et de prévoir la résistance résiduelle des structures. C’est une méthode de contrôle non destructif. C’est l’intérêt même de ce travail car elle nous donne la faculté de pouvoir anticiper sur les risques qui peuvent se produire dans une enceinte quelconque. Elle permet de détecter les défauts des structures, de contrôler et de suivre les vieillissements des matériaux, et d’augmenter la sécurité et la durée de vie des installations.
Elle permet donc de vérifier efficacement la fiabilité et l’état des installations tout en réduisant les coûts de maintenance.
L’avantage essentiel de cette méthode de contrôle non destructif par émission acoustique est de fournir des informations sans perturber l’exploitation.
Il faut remarquer que la puissance de cette méthode réside dans la diversité des paramètres du signal. En effet, plus nous avons des nombreuses valeurs de l’amplitude transmise, plus la méthode est stable et fiable. Mais cette puissance est aussi basée sur les moyens développés pour le traitement.
En bref, ce travail nous a permis d’observer les phénomènes physiques existants dans l’étude de la propagation, de l’onde acoustique. Nous avons pu aussi établir des formules et des relations applicables à différents domaines d’étude de l’acoustique.
Et avec la « Modélisation des systèmes » et l’évolution des systèmes informatiques, de nos jours,nous avons pu obtenir des résultats exploitables dans beaucoup de domaines de l’acoustique.
Mais, il faut noter que la méthode utilisée dans ce travail possède ses limites, car la négligence du phénomène d’absorption, par exemple, nous conduit à un résultat approximatif. D’ailleurs, la méthode utilisée est la méthode numérique d’interpolation nodale.
Le problème qui peut encore se poser dans le domaine de contrôle non destructif est de déterminer la forme exacte de la fissure sans avoir recours à des méthodes d’approximation.
La Modélisation traitée par la méthode des éléments finis nous permet de répondre à ce problème.

Table des matières

INTRODUCTION 
PARTIE 1 : GENERALITES 
1.1 – Ondes acoustiques
1.2 – Equation de propagation d’onde
1.3 – Les phénomènes de propagation
PARTIE 2 : FORMULATION MATHEMATIQUE 
2.1 – Milieu homogène et isotrope
2.2 – Phénomène de propagation pour un milieu homogène et isotrope
2.3 – Coefficient de transmission pour un milieu homogène et isotrope
2.4 – Coefficient de transmission pour un milieu fissuré
2.5 – Variation du coefficient de transmission
PARTIE 3 : CALCULS et RESULTATS NUMERIQUES 
3.1 – Algorithme
3.2 – Organigramme
3.3 – Calculs et interprétation des résultats
CONCLUSION 
ANNEXES 
BIBLIOGRAPHIE